Demuestre que las siguientes funciones $$f(x, y)=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ f(x, y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}$$ son diferenciables en cada punto del dominio. Determina cuál de ellas es $C^1$ .
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El dominio de las funciones es $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ .
¿Cómo podemos demostrar que las funciones son diferenciables en cada punto del dominio?
¿Tenemos que encontrar las derivadas parciales??
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EDITAR:
$$f(x, y)=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}: \\ \frac{\partial{f}}{\partial{x}}=\frac{y\sqrt{x^2+y^2}-xy\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}2x}{x^2+y^2}=\frac{y(x^2+y^2)-x^2y}{\sqrt{x^2+y^2}(x^2+y^2)}=\frac{y^3}{\sqrt{x^2+y^2}(x^2+y^2)} \\ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=\frac{x\sqrt{x^2+y^2}-xy\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}2y}{x^2+y^2}=\frac{x(x^2+y^2)-xy^2}{\sqrt{x^2+y^2}(x^2+y^2)}=\frac{x^3}{\sqrt{x^2+y^2}(x^2+y^2)}$$
Dado que las derivadas parciales son continuas en $\mathbb{R}^2 \setminus \{ (0,0)\}$ , $f$ es diferenciable.
¿Es esto correcto?
¿Podría mejorar algo en la fomrmulación??
