¿Cuál es la intuición que hay detrás de $\mathbb{P} (A \text{ and }B) = \mathbb{P}(A) · \mathbb{P}(B)$ si son eventos independientes?

Question

No soy capaz de entender esta fórmula de forma intuitiva.

Answer 1

Acerca de $8\%$ de la población mundial tiene los ojos azules. Suponiendo que haya $7.5$ mil millones de personas en este planeta, son seiscientos millones de personas con ojos azules.

Aproximadamente uno de cada diez es zurdo. Eso hace que $750$ millones de personas zurdas.

Así que, elijamos una persona al azar y veamos los acontecimientos $$ L=\text{the person is left-handed}\\ B=\text{the person has blue eyes} $$ Tenemos $P(B)=0.08$ y $P(L)=0.1$ .

Aquí está el núcleo de por qué su fórmula es verdadera:

Suponiendo que el color de los ojos y la preferencia por las manos son independientes, cabría esperar que, al igual que una décima parte de toda la población es zurda, una décima parte de todas las personas de ojos azules son zurdas.

Aplicando esta idea a la fórmula habitual $\frac{\text{good cases}}{\text{possible cases}}$ obtenemos que la probabilidad de que una persona al azar sea a la vez de ojos azules y zurda es $$ P(B\cap L)=\frac{\text{number of blue-eyed left-handers}}{\text{number of people in the world}}\\ =\frac{0.1\cdot\text{number of blue-eyed people}}{\text{number of people in the world}}\\ =\frac{0.1\cdot(0.08\cdot \text{number of people in the world})}{\text{number of people in the world}}\\ =0.1\cdot 0.08=P(L)\cdot P(B) $$ En cuanto a por qué es necesaria la independencia, esto es lo que ocurre en los dos extremos de la escala de dependencia:

1. Primer caso: Ninguna persona de ojos azules es zurda. Entonces por definición de $\cap$ tenemos $B \cap L = \varnothing$ Así que $P(B\cap L) = 0$ . Esto es mucho más pequeño que $P(B)\cdot P(L)$ .
2. En el extremo opuesto: Toda persona de ojos azules es zurda (mientras que algunos zurdos no son de ojos azules). Entonces $B \cap L = B$ (de nuevo, por definición de $\cap$ ) y $P(B \cap L) = 0.08$ que es mucho mayor que $P(B)\cdot P(L)$ .

Answer 2

Podría ser útil considerar la definición de eventos independientes como $$p(A|B)=p(A)$$ Con lo cual la fórmula $$p(A|B)=\frac{p(A \cap B)}{p(B)},$$ que es más intuitivamente obvio, conducirá entonces al resultado que usted cita $p(A \cap B)=p(A)\cdot p(B)$

Answer 3

Imagina que tiras un dado y lanzas una moneda. Son sucesos independientes: ninguno afecta al otro. Puedes mostrar todos los resultados posibles en un cuadrado unitario en el que el área de cada región muestre su probabilidad. Entonces tiene sentido la regla del producto para sucesos independientes. La región sombreada más oscura tiene un área $$ \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} $$ para la probabilidad de que lances una cabeza y saques un cuatro.

(Esto NO es una prueba, es un recurso que puede ayudar a su intuición).

Answer 4

Puede encontrar una descripción exhaustiva en https://economictheoryblog.com/2012/12/26/stochastic-independence-versus-stochastic-dependence . El artículo describe la intuición detrás de P(A y B) = P(A) - P(B) y explica la diferencia entre dependencia estocástica e independencia estocástica.

Un ejemplo extraído de la página web dice que, para que dos sucesos sean independientes, la ocurrencia del suceso A no puede tener ninguna influencia en la ocurrencia del suceso B y viceversa. Como ejemplo, supongamos que el suceso A se define como ganar más de 10.000 al mes y el suceso B se define como obtener seis al lanzar un dado. Ambos sucesos no interfieren, o al menos no lo hacen hasta donde yo sé. La probabilidad de tener un seis al lanzar un dado no cambia si se trata de una persona que gana más de 10.000 al mes, ni tampoco cambia la probabilidad de que una persona gane más de 10.000 al mes si esta persona tiene un seis al lanzar un dado.

Answer 5

Brevemente: Es evidente que una operación lógica "y" es más difícil de que ocurra que cualquiera de los eventos por separado. Para probabilidades entre 0 y 1, ¿qué operación aritmética básica produce un baja resultado que cualquiera de los operandos, sin poder bajar de 0? Sólo la multiplicación.