En general, las transformadas de Fourier se definen del siguiente modo:
$$ F(s)=\int dxf(x)e^{-isx}.$$
Del mismo modo, ¿es posible definir la transformada de Fourier para una función $\psi[\phi(x)]$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
yuggib
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La transformada de Fourier puede definirse para todo lineal y continua funcionales en el espacio de Schwartz $\mathscr{S}(G)$ Siempre que $G$ es un grupo abeliano localmente compacto. La definición es por dualidad: $$\hat{T}(f)=T(\hat{f})\; ,\; f\in\mathscr{S}(G)$$ donde $T\in \mathscr{S}'(G)$ y $$\hat{f}(\chi)=\int_{G} \chi(g) f(g)\mathrm{d}h(g)\; ,$$ $\chi\in \hat{G}$ un personaje y $h$ la medida de Haar.
Otra noción (relacionada) de transformada de Fourier puede darse para medidas finitas contablemente aditivas en el álgebra de cilindros $C(X,\Gamma)$ (para un espacio $X$ con cilindros generados por el espacio vectorial $\Gamma\subset \mathbb{R}^X$ ) que son contablemente aditivos cuando se restringen a los $\sigma$ -generada por cualquier subespacio de generadores de dimensión finita (llamemos al conjunto de ellos $M_{\mathrm{cyl}}(X,\Gamma)$ ). Esencialmente, $$\hat{\mu}(\gamma)=\int_{\mathbb{R}}e^{it}\mathrm{d}\mu_{\gamma}(t)\;,\; \gamma\in \Gamma\; ,$$ donde $\mu_{\gamma}=\gamma\, _* \, \mu$ es la medida de Radon finita en $\mathbb{R}$ obtenida por el pushforward de la medida finitamente aditiva $\mu$ mediante la función $\gamma$ . En particular, la transformada de Fourier puede definirse para cualquier medida de probabilidad de Radon sobre $X$ si $X$ es un espacio vectorial topológico.
En ambos casos, la transformada de Fourier es una biyección. En el primer caso, es una biyección de $\mathscr{S}'(G)$ en $\mathscr{S}'(\hat{G})$ . En el segundo caso, es una biyección de $M_{\mathrm{cyl}}(X,\Gamma)$ en $ACP(\Gamma)$ donde este último es el espacio de funciones de $\Gamma$ à $\mathbb{C}$ que son de tipo positivo ( $\sum_{i,j\in \mathrm{Fin}}f(\gamma_{i}-\gamma{j})\bar{z}_{j}z_i \geq 0$ para cualquier combinación finita con coeficientes complejos $\{z_{i}\}$ ) y casi continua (es decir, continua cuando se restringe a cualquier subespacio de dimensión finita).
Sin embargo, no es posible definir una transformada de Fourier y un espacio de Fourier que generalicen los conceptos estándar para un conjunto más general de funcionales (que yo sepa).
