Demostrar que el centro de $G$ no es trivial y $G$ es un grupo cíclico

Question

Supongamos que $G$ es un grupo tal que $|G|=55$ y $G$ tiene exactamente cuatro elementos de orden $5$ .
Demostrar que el centro de $G$ no es trivial y $G$ es un grupo cíclico.

Mi intento:

Sabemos que $|h_1|=|h_2|=|h_3|=|h_4|=5$ y no existir $h_5$ tal que $|h_5|=5$ . Por lo tanto, sabemos que $h_1^5=h_2^5=h_3^5=h_4^5=1$ .
Si el elemento tiene una orden $1$ entonces es elemento neutro en $G$ así que $|e|=1$ .
Dividendos de $G$ son $1,5,11,55$ así otros $50$ los elementos que no hemos mencionado tienen un orden $11$ o $55$ .

Centro de $G$ es un conjunto: $Z(G)=\left\{g\in G: \forall _{x\in G} xg=gx \right\}$ .

Un grupo es cíclico cuando está generado por un elemento.

Todo esto son observaciones sobre esta tarea y no sé qué debo hacer a continuación para resolver este problema. ¿Tienes alguna idea?

Answer 1

He aquí una pista:

Sea $P_5$ y $P_{11}$ sean subgrupos bajos de $G$ . Entonces $P_5 \cong \mathbb{Z}/5$ y $P_{11} \cong \mathbb{Z}/11$ ya que los únicos grupos de orden primo son cíclicos.

Ahora bien, si podemos mostrar $G = P_5 \times P_{11}$ entonces hemos terminado (¿por qué?). Así que basta con demostrar que ambos son normales, ya que su intersección debe ser trivial (¿por qué?).

$P_{11}$ es normal como consecuencia de Sylow 3, esto es rutina y te lo dejo a ti.

$P_5$ es normal porque sabemos que hay exactamente 4 elementos de orden 5, por lo que $P_5$ que ya tiene 4 elementos de orden 5, debe ser el único subgrupo Sylow 5. Por tanto, podemos concluir que también es normal (¿por qué?).

Diviértete rellenando los huecos. No dudes en comentar si tienes alguna pregunta de seguimiento.

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Espero que esto ayude ^_^