¿Por qué el siguiente número siempre es positivo?

Question

Considera dos puntos en el plano euclidiano:

$A=(A_1,A_2),B=(B_1,B_2)\in\mathbb{R}^2$,

y algún número real fijo $\lambda\in(0,1)$. La afirmación es que la siguiente expresión siempre es un número real positivo:

$$(1-\lambda^2)\cdot (\vert B \vert^2- \vert A\vert^2)+(A_1+B_1\cdot \lambda^2)^2+(A_2+B_2\cdot \lambda^2)^2>0.$$

Me pregunto por qué este número real complicado siempre es positivo. Sustituí algunos números y fue positivo. ¿Es posible encontrar el mínimo de esta función? Saludos.

Answer 1

Expande esa expresión y verás que es igual a $$\lambda^2\,|A+B|^2 + (1-\lambda^2)^2\,|B|^2\,,$$ que claramente es una cantidad no negativa.