Los físicos suelen asignar un determinado valor a una divergente la serie de $\sum_{n=0}^\infty a_n$ a través del siguiente esquema de regularización: encontrar una secuencia de funciones analíticas $f_n(z)$ tal que $f_n(0) = a_n$ $g(z) := \sum_{n=0}^\infty f_n(z)$ converge para $z$ en algunas conjunto abierto $U$ (que no contiene 0, o bien $\sum_{n=0}^\infty a_n$ convergerían), analíticamente, a continuación, continúe $g(z)$ $z=0$y asignar $\sum_{n=0}^\infty a_n$ $g(0)$ . ¿Esta receta de ceder siempre una única respuesta finita, o no existen dos conjuntos diferentes de la regularización de las funciones de $f_n(z)$ $h_n(z)$ que está de acuerdo en $z=0$, de tal manera que la aplicación de la analítica continuación el procedimiento anterior para $f_n(z)$ $h_n(z)$ los rendimientos de los dos diferentes, finito de valores?
Respuesta
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La forma de la pregunta por escrito, el procedimiento absolutamente puede llevar a diferentes, finito, los resultados dependiendo de la elección de la $f_n(z)$. Tome el ejemplo sencillo de $1-1+1-1+\ldots$. La posibilidad más obvia es tomar $f_n(z)=\frac{(-1)^n}{(z+1)^n}$ (es decir, una serie geométrica), en cuyo caso $$ g(z)=\sum_{n=0}^{\infty}f_n(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(z+1)^{n}}=\frac{1}{1+\frac{1}{z+1}}=\frac{z+1}{z+2}, $$ donde la suma converge para $|z+1|>1$, e $g(0)=1/2$. Pero si usted no insista en los términos que forman una potencia de la serie, luego hay otras posibilidades. Por ejemplo, supongamos $f_{2m}(z)=(m+1)^z$ $f_{2m+1}(z)=-(m+1)^z$ (es decir, zeta-regularizar el positivo y negativo de los términos por separado); a continuación, $g(z)=0$ en todas partes, donde la suma converge para $\Re(z) < -1$ y es analíticamente siguieron $z=0$.
Mediante la adopción de una adecuada combinación lineal de la primera y la segunda de las posibilidades, usted puede conseguir $1-1+1-1+\ldots$ a igualdad de valores. Específicamente, tomando $$ f_n(z)=(-1)^n \left(\frac{2\beta}{(z+1)^n}+(1-2\beta)\left\lceil\frac{n+1}{2}\right\rceil^z\right), $$ usted encontrará $g(z)=2\beta(z+1)/(z+2)$, convergentes en un territorio abierto de la mitad izquierda del plano -, y $g(0)=\beta$.
