¿Puede 1 kilogramo de material radiactivo con una vida media de 5 años desintegrarse en un minuto?

Question

Me lo preguntaba desde que mi profesor nos habló de la vida media de los materiales radiactivos en el colegio. Me parece intuitivo pensar así, pero me pregunto si hay una explicación más profunda que demuestre que me equivoco.

Cuando hay muchos átomos implicados, la vida media puede mantenerse estadísticamente, pero dado que la desintegración de un átomo individual es completamente aleatoria y apátrida, ¿no pueden todos los átomos de 1 kg de materia decidir simplemente desintegrarse en el próximo minuto, aunque la probabilidad de que este suceso ocurra sea extremadamente pequeña?

Answer 1

La respuesta corta es sí . Independientemente del número de átomos que haya, siempre existe una posibilidad (a veces muy pequeña) de que todos de ellos decaen en el minuto siguiente. El divertido La respuesta es ver lo pequeña que se vuelve esta probabilidad para un gran número de átomos.

Tomemos yodo-131 que elegí porque tiene una semivida razonable de alrededor del $8$ días = $\text{691,200}$ segundos. Ahora $1$ kg de yodo-131 tendrá alrededor de $7.63 \times N_A$ átomos en él, donde $N_A$ es la constante de Avogadro. Utilizando la fórmula de probabilidad para la desintegración de un átomo en el tiempo $t$ :

$$ P(t) = 1-\exp(-\lambda t), $$

y suponiendo que todas las desintegraciones son estadísticamente independientes $^\dagger$ la probabilidad de que todos los átomos se habrán descompuesto en un minuto es:

$$ (1-\exp(-\lambda \times 60\,\text{s}))^{7.63\times N_A} $$

donde $\lambda$ es la constante de desintegración, igual a $\frac{\ln 2}{\text{half-life}}$ en este caso, casi exactamente $10^{-6}\,\text{s}^{–1}$ . Así que $$ P = (1-\exp(-6\times10^{-5}))^{7.63\times N_A} \\ \approx(6\times10^{-5})^{7.63\times N_A} \\ \approx (10^{-4.22})^{7.63\times N_A} \\ = 10^{-4.22\times7.63\times N_A} \\ \approx 10^{-1.94\times10^{25}} $$

(He elegido el yodo-131 como ejemplo concreto, pero prácticamente cualquier átomo radiactivo dará lugar a una probabilidad similar, independientemente de su masa o vida media). Así que si realizas este experimento en $10^{1.94\times10^{25}}$ tales configuraciones, se esperaría que todos los átomos se descompongan en un de los montajes, por término medio.

Para que se haga una idea de lo incomprensiblemente grande que es este número, "sólo" hay $10^{78}$ átomos en el universo - eso es $1$ seguido de $78$ ceros. $10^{1.94\times10^{25}}$ est $1$ seguido de más de un millón de billones de ceros. Prefiero apostar a los caballos.

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$^\dagger$ Este modelo de distribución de Poisson es una aproximación simplificadora, pero quizás burda, en este escenario, ya que incluso pequeñas desviaciones de la independencia estadística pueden sumar grandes factores de supresión dado el número de átomos, y así $10^{1.94\times10^{25}}$ es sin duda un límite superior (por supuesto, la aproximación está plenamente justificada si los átomos están separados hasta el infinito en $0 \text{ K}$ o sus productos de desintegración no tienen suficiente energía para producir más de un $1/N_A$ -en la probabilidad de desintegración de otros átomos). Un análisis más detallado tendría que adaptarse específicamente al isótopo considerado, o podría hacerse una aproximación de siguiente orden haciendo que la constante de desintegración sea $\lambda$ estrictamente creciente función de tiempo. Tenga la seguridad de que la probabilidad real, aunque mucho más difícil de calcular que esta estimación aproximada, aún se encontrará en el alucinante territorio del $1$ en $1$ seguido de varios billones de ceros.

Answer 2

TLDR: los modelos estadísticos son modelos y, por tanto, por definición no son un reflejo perfecto de la realidad.

La respuesta de Nihar es buena, pero voy a abordarla desde otra dirección.

En primer lugar, si sólo nos fijamos en la mecánica estadística, puedes repasar las matemáticas y, por supuesto, encontrarás una probabilidad extremadamente pequeña. Podrías detenerte ahí. Pero la mecánica estadística utiliza modelos estadísticos, y todos los modelos son erróneos. Hacen suposiciones y necesariamente simplifican la realidad para resolver problemas complicados. Podría muy bien haber algunos procesos físicos no contemplados en la mecánica estadística que negasen cualquier posibilidad de un decaimiento tan rápido.

Un ejemplo clásico es tener una habitación y calcular la probabilidad de que de repente todo el oxígeno esté sólo en una mitad de la habitación. Desde el punto de vista de la mecánica estadística, es básicamente la probabilidad de lanzar una moneda al aire un número inimaginablemente grande de veces y que todas caigan de la misma manera. Pero en realidad, el número inimaginablemente pequeño que calcularías no sería correcto, porque las suposiciones de tu modelo no reflejarían perfectamente la realidad (las partículas interactúan entre sí, por ejemplo). Al igual que la ley de los gases ideales, estas cosas son útiles, pero pueden fallar por completo si te desvías demasiado de los supuestos formulados. Esto es cierto para todos los modelos estadísticos, por supuesto.

Por tanto, si asumimos que el modelo estadístico de vida media es una representación completamente exacta de la realidad, la respuesta a su pregunta es técnicamente sí. Por supuesto, sabemos que no lo es, lo que me lleva al último punto.

También hay un fuerte componente filosófico en este tipo de cuestiones, ya que se trata de probabilidades tan pequeñas que en realidad son 0. Si alguien lanza una moneda mil millones de veces y sale cruz todas las veces, nadie va a pensar que es una moneda justa, porque obviamente no lo es*. También se podría considerar la criptografía más avanzada. Las probabilidades de adivinar una clave al azar son tan bajas que, a todos los efectos, son 0. O imagina ver un vídeo de un montón de cristales rotos formando un jarrón. Tu conclusión no sería "mira, termodinámica, no me gustaría ser tú", sino "estoy viendo un vídeo de un jarrón rompiéndose al revés". Sí, técnicamente hay pequeñas probabilidades asociadas a estos sucesos, pero son tan pequeñas que decir que son técnicamente posibles es más una afirmación filosófica que otra cosa.

* La idea de una moneda justa es una madriguera de conejo en sí misma. ¿Cómo se determina que una moneda es justa? Lanzándola un montón de veces y observando un número casi igual de caras y cruz. Si se desvía demasiado del 50/50, la declaramos sesgada. Pero, por supuesto, sea cual sea el resultado que observemos, siempre existe la posibilidad de que haya sido una moneda justa, así que técnicamente nunca podemos saberlo con seguridad. Para poder utilizar la estadística, debemos elegir arbitrariamente un punto de corte para el azar. Normalmente es de 2 sigma, quizá 3. El CERN utiliza 5 sigma para la detección de nuevas partículas, pero también en este caso es arbitrario. La estadística aplicada es tanto un arte como una rama de las matemáticas.

Answer 3

Hay que tener en cuenta que no se trata sólo de una cuestión estadística y que la analogía de los átomos que se descomponen y el lanzamiento de monedas puede inducir a error.

Por ejemplo, uranio 235 tiene una vida media de más de 700 millones de años, pero cuando se trae en la configuración correcta (muy empaquetado) y en la cantidad correcta (por encima de la masa crítica), se desintegra prácticamente en un instante... Simplemente porque la desintegración de un átomo puede desencadenar la desintegración de otro y así sucesivamente en una reacción en cadena.

Por lo tanto, si se puede suponer que todas las desintegraciones ocurren independientemente unas de otras, entonces las respuestas basadas puramente en la estadística son válidas. Si interviene más física que estadística, entonces depende del material exacto, es decir, qué material, si es puro, en qué configuración, etc.

Answer 4

La respuesta es "no". Este 'no' está en el mismo nivel como:

• ¿Puede ocurrir que flotes durante 15 minutos en medio de tu habitación? (La mecánica estadística dice que técnicamente sí, pero de nuevo con una probabilidad nula a efectos prácticos).
• ¿Se puede poner a un mono delante de una máquina de escribir y sacar novelas de Shakespeare?
• ¿Se puede atravesar una pared sólida (probabilidad de túnel no nula debido a la mecánica cuántica)?

Answer 5

Para que ocurren en el mundo real necesitas empezar con unos 3,8 millones de kilos de ese material.

Así es como se llega a esa cifra. Se parte de la fórmula que relaciona la vida media con el número de partículas a lo largo del tiempo

$$ N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{t_{1/2}} $$

Ahora sustituye $N(t)$ con lo que le gustaría tener $$ N_0 - 1~\text{kg} = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{t_{1/2}} $$ Y se resuelve para $N_0$ $$ N_0 = \frac{1~\text{kg}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{t_{1/2}}}$$ En este punto es sólo una cuestión de enchufar $t=60~\text{s}$ y $t_{1/2}=5~\text{y}$ .