¿De cuántas formas puede ser igual a 12 la suma de 4 números enteros positivos?

Question

Actualmente investigo en Geometría Combinatoria y he podido reducir un problema bastante complicado relacionado con la ampliación del problema de Newton-Gregory de las esferas que se besan a un simple problema de teoría de números y luego comprobar en cada caso que se cumple una conjetura mía.

En cualquier caso, por razones de fondo en las que no es necesario que entre, necesito determinar los conjuntos explícitos de 4 enteros positivos que sumados dan 12. El orden no importa ya que necesitaré permutar el conjunto de 4 enteros positivos en cada caso para satisfacer un caso diferente para verificar mi conjetura por agotamiento. Por lo tanto, no estoy interesado en un abstracto "hay tantas maneras", estoy realmente interesado en generar los conjuntos explícitos de números. Hasta ahora he podido llegar a lo siguiente:

$$\{1,1,5,5\},\{2,2,4,4\},\{3,3,3,3\},\{2,2,3,5\},\{1,2,4,5\},\{1,3,3,5\},\{1,3,4,4\},\{2,3,3,4\}$$

¿Alguna idea para solucionarlo? Puedo aclarar cualquier ambigüedad si es necesario.

EDIT: Olvidé mencionar el siguiente detalle importante:

Sólo quiero considerar enteros del conjunto $\{2,3,4,5\}$ al sumar 12, ya que corresponden al grado de un vértice y he comprobado que para mi problema particular que todos los vértices tienen o bien grado 2, 3, 4 ó 5.

Answer 1

Quieres $a+b+c+d = 12$ donde $2 \leq a \leq b \leq c \leq d \leq 5$ . Sea $a_1 = a-2$ , $b_1 = b-2$ , $c_1 = c-2$ y $d_1 = d-2$ . Esto nos da que $$a_1 + b_1 + c_1 + d_1 = 4$$ donde $0 \leq a_1 \leq b_1 \leq c_1 \leq d_1 \leq 3$ .

Sea $b_1 = a_1 + b_2$ , $c_1 = b_1 + c_2$ y $d_1 = c_1 + d_2$ . Entonces necesitamos $$a_1 + (a_1 + b_2) + (a_1 + b_2 + c_2) + (a_1 + b_2 + c_2 + d_2) = 4$$ es decir $$4a_1 + 3b_2 + 2 c_2 + d_2 = 4$$ donde $0 \leq a_1,b_2,c_2,d_2$ .

Tenga en cuenta que $a = a_1 +2$ , $b = a_1 + b_2 + 2$ , $c = a_1 + b_2 + c_2 + 2$ y $d = a_1 + b_2 + c_2 + d_2 + 2$

Ahora todo lo que queremos es $$4a_1 + 3b_2 + 2 c_2 + d_2 = 4$$ tal que $0 \leq a_1 \leq b_1 \leq c_1 \leq d_1 \leq 3$ .

Es decir $a_1 \leq 1$ .

Si $a_1 = 1$ entonces $b_2 = c_2 = d_2 = 0$ . Por lo tanto, la solución es $$(a,b,c,d) = (3,3,3,3)$$

Si $a_1 = 0$ entonces $$3b_2 + 2 c_2 + d_2 = 4$$ donde $0 \leq b_2,c_2,d_2$ .

Es decir $b_2 \leq 1$ .

Si $b_2 = 1$ entonces $c_2 = 0$ y $d_2 = 1$ . Por lo tanto, la solución es $$(a,b,c,d) = (2,3,3,4)$$

Si $b_2 = 0$ entonces $$2c_2 + d_2 = 4$$ donde $0 \leq c_2,d_2$ . Esto nos da $(c_2,d_2) = (2,0)$ , $(c_2,d_2) = (1,2)$ y $(c_2,d_2) = (0,4)$ . Pero $d_1 \leq 3$ . Por lo tanto, la última solución no es posible.

Por lo tanto, éstas dan ahora las soluciones $$(a,b,c,d) = (2,2,4,4)$$ $$(a,b,c,d) = (2,2,3,5)$$

Por lo tanto, las únicas cuatro soluciones posibles para $a+b+c+d = 12$ con la condición de que $a,b,c,d \in \{2,3,4,5\}$ son

$$(a,b,c,d) = (3,3,3,3)$$ $$(a,b,c,d) = (2,3,3,4)$$ $$(a,b,c,d) = (2,2,4,4)$$ $$(a,b,c,d) = (2,2,3,5)$$

Answer 2

Como el orden no importa, supongamos $a \geq b \geq c \geq d \geq 1$ y $a + b + c + d = 12$ . Lo único que hay que hacer es agotar caso por caso los valores posibles. Por ejemplo, el mayor valor posible de $a$ es $9$ en cuyo caso $b = c = d = 1$ . Si $a = 8 \dots$