Prueba más potente dada una muestra de una variable con distribución conocida pero no común (creo)

Question

Sea $X1,X2... Xn$ sea una muestra aleatoria de X y que X tenga la siguiente pdf:

$g(\theta)xe^{\theta \frac {x^{2}}{2}}$ , $x$ de 0 a 1 y $g(\theta)$ es una constante normalizada del parámetro $\theta > 0$ .

El objetivo es encontrar la prueba MP para el problema:

$H0: \theta=0$

$H1: \theta=2$

Empecé tratando de encontrar $g(\theta)$ . Como el pdf está dado, utilicé el hecho de que se integra a 1 con respecto a $x$ de 0 a 1. Esto me dio $g(\theta)=\frac{\theta}{e^{\frac{\theta}{2}}-1}$

Ahora no estoy seguro de cómo continuar.

Edita:

Me acabo de dar cuenta de que parece haber cierta incoherencia entre lo que se da y lo que se pide. Se establece claramente en el dado que $\theta>0$ pero la hipótesis nula es $\theta=0$ . ¿Lo he entendido bien?

Answer 1

Ok. Así que con las aportaciones que recibí de los comentarios, ahora sé que

$g(\theta)=\frac{\theta}{e^{\frac{\theta}{2}}-1}$ cuando $\theta>0$ y

$(g(\theta)$ =2 cuando $\theta=0$

La función de verosimilitud para la distribución conjunta de $x_i's$ es

$L(\theta|X)=c(\theta)^nx^ne^{\frac{\theta}{2}\sum x_i^2}$

Utilizar el lema de Neyman-Pearson para comprobar

$Ho: \theta=0$ $H1: \theta=2$

Rechaza a Ho cuando:

$\frac{c(2)^nx^ne^{\frac{2}{2}\sum x_i^2}}{c(0)^nx^ne^{\frac{0}{2}\sum x_i^2}}>k$ que se simplifica en $\frac{1}{(e-1)^n}e^{\sum x_i^2}>k$

Después de tomar ln's y algo más de álgebra:

Rechazar Ho cuando $\sum x_i^2>ln[(e-1)^nk]$

Dónde $\alpha=P_{\theta=0}(\sum x_i^2>ln[(e-1)^nk])$