Evaluación de $\int_{0}^{\pi}\ln(5-4\cos x)\,dx$ revisitado

Question

Esta pregunta hace referencia a Evaluación de $\displaystyle \int_{0}^{\pi}\ln(5-4\cos x)dx$ que fue publicado anteriormente por Juantheron. Intenté resolverlo de una manera un poco más "fácil" que Eric en su respuesta, pero no pude llegar exactamente a la respuesta correcta. Esto es lo que hice: Consideré la integral $\displaystyle \int_{0}^{\pi}\ln(a-4\cos x)dx$ y tomó derivados wrt $a$ : $I'(a)=\displaystyle \int_{0}^{\pi}\frac{dx}{a-4\cos x}$ Luego apliqué "Weierstrass sub" para obtener $$I'(a)= \int_{0}^{\infty}\frac{2dt}{(4+a)t^2+a-4}$$ Para preparar esto para el "arctan" saco $\frac{1}{4+a}$ para obtener $$I'(a)= \frac{1}{4+a}\int_{0}^{\infty}\frac{2dt}{t^2+\frac{a-4}{a+4}}=\frac{2}{4+a}\sqrt{\frac{a+4}{a-4}}\arctan\sqrt{\frac{a+4}{a-4}}t$$ de $0$ hasta el infinito que da: $\frac{\pi}{\sqrt{a^2-16}}=I'(a)$ Así que ahora $I(a)={\pi}\ln|a+\sqrt{a^2-16}|$ Para $a=5$ Recibo ${\pi}\ln8$ como respuesta. Pero la respuesta real es ${\pi}ln4$ . No se que he hecho mal. Lo único que se me ocurre, esta que al integrar de $I'(a)$ a $I(a)$ existe una constante $C$ que puedan contribuir? ¿Puede alguien ayudarme a saber si mi planteamiento es válido y cómo obtener la respuesta correcta con mi planteamiento? Sería una gran experiencia de aprendizaje para mí. Gracias.

Answer 1

Su solución era buena hasta $$I(a)=\pi\ln(a+\sqrt{a^2-16})+C$$ Pero aún tiene que evaluar $C$ y es más difícil que cuando $b$ era la variable porque en ese caso se conocía el valor de la integral para $b=0$ . Esta vez no hay valores de $a$ para la que se conoce el valor de la integral, pero aún se puede llegar a $C$ a través de la asíntota oblicua. Proponemos comenzar con la aproximación $I(a)\approx m\cdot\ln a+b$ . Para obtener $m$ Obsérvese que $$\begin{align}m&=\lim_{a\rightarrow\infty}\frac{I(a)}{\ln a}=\lim_{a\rightarrow\infty}\frac{\int_0^{\pi}\ln(a-4\cos x)dx}{\ln a}\\ &=\lim_{a\rightarrow\infty}\frac{\int_0^{\pi}\left(\ln a+\ln(1-\frac{4\cos x}a)\right)dx}{\ln a}\\ &=\lim_{a\rightarrow\infty}\frac{\pi\ln a+\int_0^{\pi}\ln(1-\frac{4\cos x}a)dx}{\ln a}\\ &=\pi+\lim_{a\rightarrow\infty}\frac{\int_0^{\pi}\ln(1-\frac{4\cos x}a)dx}{\ln a}=\pi\end{align}$$ Porque $$\lim_{a\rightarrow\infty}\ln\left(1-\frac{4\cos x}a\right)=0$$ Ahora podemos encontrar $b$ como $$\begin{align}b&=\lim_{a\rightarrow\infty}\left(I(a)-\pi\ln a\right)\\ &=\lim_{a\rightarrow\infty}\left(\pi\ln a+\int_0^{\pi}\ln\left(1-\frac{4\cos x}a\right)dx-\pi\ln a\right)\\ &=\lim_{a\rightarrow\infty}\int_0^{\pi}\ln\left(1-\frac{4\cos x}a\right)dx=0\end{align}$$ Por la misma razón. Así pues, necesitamos $$\begin{align}\pi&=\lim_{a\rightarrow\infty}\frac{\pi\ln(a+\sqrt{a^2-16})+C}{\ln a}\\ &=\lim_{a\rightarrow\infty}\frac{\pi\ln a+\pi\ln\left(1+\sqrt{1-\frac{16}{a^2}}\right)+C}{\ln a}\\ &=\pi+\lim_{a\rightarrow\infty}\frac{\pi\ln\left(1+\sqrt{1-\frac{16}{a^2}}\right)+C}{\ln a}=\pi\end{align}$$ OK, pero también $$\begin{align}0&=\lim_{a\rightarrow\infty}\pi\ln(a+\sqrt{a^2-16})+C-\pi\ln a\\ &=\pi\ln a+\pi\ln\left(1+\sqrt{1-\frac{16}{a^2}}\right)+C-\pi\ln a\\ &=\pi\ln2+C\end{align}$$ Así que ahora hemos establecido que $C=-\pi\ln2$ Así que $$I(a)=\pi\ln(a+\sqrt{a^2-16})-\pi\ln2$$ Y $$I(5)=\pi\ln(5+3)-\pi\ln2=\pi\ln4$$