Jacobiano de una transformación ortogonal

Question

Supongamos que tengo una integral que evaluar con respecto al vector columna de $n$ variables, $x=[x_1,x_2,...x_n]^T$ ;

$\int f(x)dx$

Y hago un cambio de variables a un nuevo vector de columnas, $y$ de longitud $n$ fijando $y=Ax$ donde $A$ es un $(n\times n)$ matriz ortogonal. ¿Es cierto que el determinante jacobiano de esta transformación es $1$ En caso afirmativo, ¿por qué? Es decir

$\int f(x)dx=\int f(y)dy$

Answer 1

Desde $A$ es ortogonal, $\det(A) = \pm 1$ . ¿Por qué? Por definición, $A A^T = I$ y tomando el determinante de ambos lados se obtiene $$\det(A)^2 = \det(A)\det(A^T) = \det(A A^T) = \det(I) = 1. $$

Ahora como el cambio de coordenadas $y = \phi(x) = Ax$ es lineal, su derivada $(D\phi)(x)$ es igual a $A$ . Por cambio de variables, $$\int f(y) dy = \int f(Ax)\, |\det (D\phi)(x)| dx = \int f(Ax)\, |\det A| dx = \int f(Ax) dx. $$