Demostrar que $(2^n-1)(3^n-1)$ no es un cuadrado perfecto.
He tratado este problema en un par de días y ya siento que estoy muy lejos de ser la solución. La mayoría de mis planteamientos han sido el análisis de cómo muchas veces 2 divide el número, y cómo muchas veces 3 divide, así como de los distintos mods. Estoy empezando a pensar que la prueba va a ser el factoring en un extraño campo o algo por el estilo en su lugar.
Podemos ver que si $n$ es impar, a continuación, $3^n-1$ es divisible por $2$ exactamente a tiempo para que el exponente de a $2$ en la descomposición en factores primos del número de es $1$ y por lo tanto no es un cuadrado perfecto. Además, levantando el exponente lema sabemos que desde $n$ es el exponente de $2$ en la factorización prima de $3^n-1$$3-1+v_2(2) = 2+v_2(n)$, por lo que necesitamos $v_2(n)$ a ser incluso. Por eso es tan mayor o igual a $2$ i.e $4$ divide $n$.
Del mismo modo, levantando podemos ver que el exponente de a$3$$2^n-1$$1+v_3(n)$, por lo que tenemos $v_3(n)$ es extraño yo.e $3$ divide $n$.
Por lo tanto, si la expresión es un cuadrado perfecto, debemos tener $12|n$.
