Compute $ \int_{0}^{+\infty} \left( \frac{\ln(x)}{e^x}\right)^2 dx $

Question

¿Cómo puedo calcular esta integral? $$ \int_{0}^{+\infty} \left( \frac{\ln(x)}{e^x}\right)^2 dx $$

Answer 1

Sea $$f(a):=\int_0^\infty x^{a-1}e^{-2x}\,dx.$$ Entonces $$f''(1)=\int_0^\infty \ln^2x\,e^{-2x}\,dx,$$ que es la integral en cuestión.

Por otro lado, $f(a)=2^{-a}\,\Gamma(a)$ y, por tanto la integral en cuestión es $$f''(1)=\frac{\ln^2 2}2 - \Gamma'(1)\ln2 + \Gamma''(1)/2 =\frac{\pi^2}{12}+ \frac{(\gamma +\ln2)^2}2=1.6293\dots,$$ donde $\gamma=0.57721\dots$ es la constante gamma de Euler.

(La segunda igualdad en la última visualización se deduce porque $\Gamma'(1)=-\gamma$ y $\Gamma''(1)=\gamma^2+\pi^2/6$ . A su vez, las dos últimas igualdades pueden obtenerse utilizando las dos últimas visualizaciones de la Sección Relación de recurrencia .)

Answer 2

Sugerencia Puede probar $n=2$ y seguir en general esta : \begin{align} \int_0^\infty \left(\frac{\log(x)}{e^x}\right)^n\,dx&=\int_0^\infty e^{-nx}\log^n(x)\,dx\\\\ &=\frac1n\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\log^{n-k}(n)\int_0^\infty e^{-x}\log^n(x)\,dx\\\\ &=\frac1n\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\log^{n-k}(n) \left.\left(\frac{d^n \Gamma(x+1)}{dx^n}\right)\right|_{x=0} \end{align}

Para más información, consulte las respuestas de mi pregunta

Para más aclaraciones según la respuesta de @Nikunj, prueba $n=2$ utilizando estos pasos en general: Sea $$I(a) = \int_0^\infty e^{-nx}x^a\,dx$$ $$\implies \frac{d^nI(a)}{da^n} = \int_0^\infty e^{-nx}x^a(\ln x)^n\,dx$$ Ponga $nx \rightarrow v$ en la primera integral para obtener: $$I(a) = \frac1{n^{1+a}}\int_0^\infty e^{-v}v^a\,dv$$ $$\implies I(a) = \frac{\Gamma(1+a)}{n^{1+a}}$$ Ahora $$\implies \frac{d^nI(a)}{da^n}\bigg|_{a=0} = \frac{d^n}{da^n}\left(\frac{\Gamma(1+a)}{n^{1+a}}\right)\bigg|_{a=0}$$ Que se evalúa a: $$\frac1{n}\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}\Gamma^{(n-k)}(1+a)\ln^k(n)\bigg|_{a=0}$$ Dónde $\Gamma^{(n-k)}(1+a)$ es el $(n-k)$ derivada de la función Gamma.