Una condición para ser primo: $\;\forall m,n\in\mathbb Z^+\!:\,p=m+n\implies \gcd(m,n)=1$

Question

Si $\;p=m+n$ donde $p\in\mathbb P$ entonces $m,n$ son coprimos, por supuesto. Pero, ¿y lo contrario?

Conjetura:

$p$ es primo si $\;\forall m,n\in\mathbb Z^+\!:\,p=m+n\implies \gcd(m,n)=1$

Probado (y verificado) para todos $p<100000$ .

Answer 1

Es cierto. Supongamos que $p\geqslant 2$ es no primo. Entonces podemos escribir $p=xy$ con $x,y\geqslant 2$ . Entonces encontramos $p=m+n$ con $m=x$ y $n=x(y-1)$ . Obviamente no son coprimos.

Answer 2

Si $d \mid p$ y $d<p$ entonces $1 = \gcd(d, p-d) = \gcd(d, p) = d$ Así que $p$ es primo.

Answer 3

Para p = 1 obviamente erróneo (para todos los enteros positivos m, n con m+n=p (por supuesto no hay unos, no importa) hay gcd(m,n)=1, pero 1=p no es primo)