Sea $a,b,c,d>0$ y $a+b+c+d=1$ . Demostrar que $\frac{abc}{1+bc}+\frac{bcd}{1+cd}+\frac{cda}{1+ad}+\frac{dab}{1+ab}\le \frac{1}{17}$

Question

Sea $a,b,c,d>0$ y $a+b+c+d=1$ . Demostrar que $\dfrac{abc}{1+bc}+\dfrac{bcd}{1+cd}+\dfrac{cda}{1+ad}+\dfrac{dab}{1+ab}\le \dfrac{1}{17}$

Mi intento:

Me di cuenta de que si cada uno de los elementos podría ser como $\dfrac{abc}{1+bc}\le \dfrac{1}{68}$ entonces habríamos terminado.

De una pequeña manipulación obtenemos, $\dfrac{1}{bc}+1\le 68a$ , $\dfrac{1}{cd}+1\le 68b$ , $\dfrac{1}{da}+1\le 68c$ , $\dfrac{1}{ab}+1\le 68d$ . Sumando entonces obtenemos,

$\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{cd}+\dfrac{1}{da}\le 64$

Pero, supongo que mi primera suposición podría estar equivocada, si no es así entonces por favor ayúdame más y si es así entonces por favor ayuda con la solución. Gracias.

Answer 1

Podrías enfocarlo de la siguiente manera: $$ \sum_{cyc} \frac{abc}{1+bc}=\sum_{cyc} a\left(1-\frac{1}{1+bc}\right)=\sum_{cyc} \left(a-\frac{a}{1+bc}\right)=1-\sum_{cyc} \frac{a}{1+bc} $$ Así que la desigualdad es equivalente a: $$ 1-\sum_{cyc} \frac{a}{1+bc}\le\frac{1}{17}\iff\frac{16}{17}\le\sum_{cyc} \frac{a}{1+bc} $$ Utilizando CS, esto se puede reducir a demostrar lo siguiente: $$ \left(\sum_{cyc} \frac{a}{1+bc}\right)\cdot\left(\sum_{cyc} a(1+bc)\right)\ge(a+b+c+d)^2=1\iff\sum_{cyc} \frac{a}{1+bc}\ge\frac{1}{\sum_{cyc} a(1+bc)}=\frac{1}{a+b+c+d+abc+bcd+cda+dab}=\frac{1}{1+abc+bcd+cda+dab} $$ Así que si $$ \frac{1}{1+abc+bcd+cda+dab}\ge\frac{16}{17}\iff abc+bcd+cda+dab\le\frac{1}{16} $$ es cierta, la desigualdad original también lo sería.

Edita:

La desigualdad $$ abc+bcd+cda+dab\le\frac{1}{16} $$ es cierto debido a Desigualdad de Maclaurin que, en un caso especial, establece que: $$ \left(\frac{abc+bcd+cda+dab}{4}\right)^{\frac13}\le\frac{a+b+c+d}{4}=\frac{1}{4}\iff abc+bcd+cda+dab\le\frac{1}{16} $$ Y su desigualdad queda demostrada.

Answer 2

Este es mi enfoque. Estoy atascado en un lugar pero espero que este sea un buen método y no llegue a un callejón sin salida. El LHS es equivalente a $\frac{a}{1/bc+1}+\frac{b}{1/cd+1}+\frac{c}{1/da+1}+\frac{d}{1/ab+1}$ . De AM-GM, tenemos $1+1/bc>2/\sqrt{bc}$ . Invierte la desigualdad invirtiendo el signo de la desigualdad y multiplica por $a$ y escribe los otros 3 términos. A continuación, suma todos los términos. Denotemos nuestra expresión original como P. Tenemos $P<a\sqrt{bc}+b\sqrt{cd}+c\sqrt{da}+d\sqrt{ab}/2$ . Que en sí es menos que $ab+bd+ab+ac+bc+bd+cd+ac/4$ . Ahora estoy trabajando para probar esto menos de 1/17, espero que esto ayude.