Pregunta sobre álgebra y σ-álgebra

Question

Sea A un álgebra de subconjuntos de un conjunto X. Si A es finito, demuestre que A es de hecho un -álgebra. ¿Cuántos elementos puede tener A?

Answer 1

Consideremos la comprobación de que la unión de una secuencia $B_1,B_2,\ldots$ de elementos de $A$ también es un elemento de $A$ . Porque $A$ es finita, ¡hay muchas repeticiones en esa secuencia!
Más concretamente, si definimos $C=\{B\in A: B=B_n$ para algunos $n\ge 1\}$ , entonces $C$ es un subconjunto finito de $A$ y $\cup_{n=1}^\infty B_n =\cup_{B\in C} B$ . Esta última es la unión de un número finito de elementos de $A$ por lo que es un elemento de $A$ .