Delimitación de una serie de variables aleatorias

Question

Supongamos que $X,X_1,X_2,\ldots$ son variables aleatorias iid con $\operatorname E|X|^p<\infty$ . ¿Existe una constante $C>0$ s $$ P\biggl(\sum_{n=1}^\infty|X_n|I_{\{|X_n|>n^{1/p}\}}<C\biggr)=1, $$ donde $I_A$ es la función indicadora de un acontecimiento $A$ ?

Tenemos que $$ \sum_{n=1}^\infty P(|X|>n^{1/p})\le\operatorname E|X|^P<\infty. $$ Por lo tanto, por el lema de Borel-Cantelli, la serie contiene sólo un número finito de elementos distintos de cero con casi total seguridad. Existe $\Omega_0\subset\Omega$ tal que $P(\Omega_0)=1$ y para cada $\omega\in\Omega_0$ tenemos $C(\omega)$ tal que $$ \sum_{n=1}^\infty|X_n(\omega)|I_{\{|X_n|>n^{1/p}\}}(\omega)<C(\omega). $$ Pero este límite depende de $\omega$ . Si tomamos $C=\sup_{\omega\in\Omega_0}C(\omega)$ este límite podría no ser finito, ¿verdad? Entonces parece que no podemos acotar esta serie con probabilidad $1$ mediante una única constante $C>0$ . ¿Es correcto?

Agradecemos cualquier ayuda.

Answer 1

Tienes razón. No hay ninguna constante que limite la suma para todo $\omega$ . El acontecimiento \begin{align} |X_n| > n^{1/p} &&\forall n\le N \end{align} tiene probabilidad positiva para todo $N\in\mathbb{N}$ llamémoslo $p_N$ . Entonces, para cada límite $C$ existe un $N>C$ para el que existe un conjunto de $\omega$ de tamaño mínimo $p_N$ tal que $$ \sum_{n=1}^{\infty}|X_n|I_{\{X_n>n^{1/p}\}} \ge N > C. $$