Prueba de inducción: $\sum_{k=1}^{n}\frac{a-1}{a^k}=1-\frac{1}{a^n}, a \ne 0$

Question

Tengo problemas para mostrar la igualdad para el $A(n+1)$ parte de la prueba.

Demostrar por inducción: $$\sum_{k=1}^{n}\frac{a-1}{a^k}=1-\frac{1}{a^n}, a \ne 0$$

Caso base $(n=1)$ : $$\frac{a-1}{a^1}=1-\frac{1}{a^1}$$ $$1-\frac{1}{a}=1-\frac{1}{a}$$ Por lo tanto, $A(1)$ es cierto.

Supongamos que $A(n+1)$ es cierto para algunos $n\ge1$ . Entonces:

$$\sum_{k=1}^{n+1}\frac{a-1}{a^k}=1-\frac{1}{a^{n+1}}$$

Debido a la falta de $n$ en ambos lados estoy confundido en cuanto a mostrar mostramos $A(n+1)$ ser verdad. Cualquier pista sería genial.

Answer 1

Paso inductivo:

$$\sum_{k=1}^{n+1}\frac{a-1}{a^k}=\sum_{k=1}^{n}\frac{a-1}{a^k}+\frac{a-1}{a^{n+1}}=1-\frac{1}{a^{n}}+\frac{a-1}{a^{n+1}}=1-\frac{1}{a^{n+1}}$$

Answer 2

Pista:

La idea que subyace a la inducción es que una vez que el caso $A(1)$ se demuestra que usted asume $A(k)$ es cierto para todos $1\leq k\leq n$ concluir que debe ser cierto para $A(n+1)$ .

$$A(n+1) = \sum_{k=1}^{n+1} \frac{a-1}{a^k} = \sum_{k=1}^n \frac{a-1}{a^k} + \frac{a-1}{a^{n+1}} = 1-\frac{1}{a^n} + \frac{a}{a^{n+1}} - \frac{1}{a^{n+1}} = 1 - \frac{1}{a^{n+1}}$$

Answer 3

Basándose en la afirmación de que $A(n)$ es cierto debes demostrar que $A(n+1)$ es cierto: $$\sum_{k=1}^{n+1}\frac{a-1}{a^{k}}=\sum_{k=1}^{n}\frac{a-1}{a^{k}}+\frac{a-1}{a^{n+1}}\stackrel{A\left(n\right)\text{ is true}}{=}1-\frac{1}{a^{n}}+\frac{a-1}{a^{n+1}}=1-\frac{1}{a^{n+1}}$$

Answer 4

Otra forma de demostrar tu igualdad

Puedes hacerlo sin pruebas de inducción. Efectivamente, $$\sum_{k=1}^n \frac{a-1}{a^k}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{a^{k-1}}-\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{a^k}-\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}=1-\frac{1}{a^n}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{a^k}-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{a^k}=1-\frac{1}{a^n}$$