¿Qué es exactamente un número?

Question

Acabamos de aprender en clase qué son los números complejos, y la verdad es que no entiendo por qué se llaman números.

Originalmente, un número era un medio de contar (números naturales).

A continuación, ampliamos estos números a casos en los que, por ejemplo, se debe dinero a otras personas (números enteros).

Después, consideramos las fracciones cuando tenemos que repartir cosas como 2 pizzas entre tres personas.

A continuación (omitiendo los números algebraicos a efectos prácticos), utilizamos los números reales para describir cualquier longitud; por ejemplo, la longitud de una diagonal de un cuadrado unitario.

Pero es entonces cuando nuestra definición original de número deja de tener sentido: cuando consideramos los números complejos, lo que me lleva a mi pregunta principal: ¿cuál es una definición rigurosa de "número"?

Wikipedia afirma que "Un número es un objeto matemático utilizado para contar, etiquetar y medir", pero esta definición deja de tener sentido después de que ampliemos $\mathbb{R}$ .

¿Conoce alguien alguna definición de número que pueda generalizarse también a los números complejos (e incluso a sistemas numéricos de orden superior como los cuaterniones)?

Answer 1

Sólo quiero compartir mi propia experiencia con preguntas similares. Creo que la respuesta correcta a esta pregunta es realmente importante para poder ver y disfrutar del poder de las Matemáticas sin cortinas que bloqueen su luz.

Más que nada, yo mismo me he hecho esa pregunta al pensar en dimensiones superiores a 3. Por ejemplo, la $R^n$ espacio. Parecía muy complicado. Sabía lo que haría un $R^3$ (durante mucho tiempo, hemos creído que vivíamos en uno), pero solía preguntarme cómo se vería el espacio. $R^n$ ser útil si no es imaginable en el mundo real ver cómo serían las cosas en nD (por ejemplo, en 5D). Pero después de algún tiempo, aprendí algo de álgebra y me di cuenta de que si medía 5 cosas y ponía esos 5 números de salida en una colección, ¡eso también estaría en 5D!

Pero espera, ¡eran "cosas" totalmente distintas! Los espacios "geométricos" 1D 2D 3D, y las dimensiones en álgebra. Entonces, ¿cómo podríamos definir "en última instancia" lo que es una dimensión?

La respuesta es que nunca podremos. Una dimensión puede ser muchas cosas según el contexto. Pero entonces, ¿cómo podríamos saber de qué hablamos cuando hablamos de "dimensiones"? La respuesta es sencilla, prestaremos atención al contexto, y el contexto "describirá" aquello de lo que estamos hablando.

En resumen, en Matemáticas no nos importan las definiciones globales, ni tampoco la imaginación, porque ambas buscan la concreción, mientras que las Matemáticas son abstractas. Lo que de verdad nos importa en Matemáticas son: "Descripciones". Y éstas resultan ser muy útil.

Answer 2

Actualmente no existe una definición aceptada de número, sencillamente porque nadie la ha propuesto.

Propondré una.

A número es un elemento de un espacio numérico. A espacio numérico es un suscripción de un campo .

Observaciones generales

• El concepto de número debería ser una abstracción relativamente sencilla. Las abstracciones complicadas deben basarse en abstracciones más sencillas.
• Nótese la similitud entre vectores y espacios vectoriales; un vector es un elemento de un espacio vectorial . Obsérvese cómo la discusión análoga para "¿Qué es exactamente un vector?" sería igualmente confusa sin el concepto de espacio vectorial.
• Cualquiera que sea la definición aceptada en el futuro, un número debe definirse como un elemento de algún estructura (es decir, un conjunto de elementos + operaciones sobre ellos). No tiene sentido fijarse en conjuntos específicos como el conjunto vacío, el conjunto $\{\{\}, \{\{\}\}\}$ o una matriz específica, y preguntar si son números. Más bien, al igual que con los vectores, se trata de cómo un conjunto de elementos interactúan entre sí bajo las operaciones de esa estructura.
• A algunas cosas ya se les ha dado el nombre de números, como por ejemplo números dobles , números ordinales y Números Clifford . Una definición aceptada de número no tiene por qué incluirlos necesariamente, ya que éstos pueden estar mal nombrados; quizá porque no existía una definición aceptada de número en ese momento. Los espacios numéricos excluyen estos ejemplos en general.
• Cuando digo un conjunto, también permito teorías del conjunto distintas de ZFC Por ejemplo NBG que contiene clases propias (conjunto de 1 nivel contiene conjuntos de nivel 0) u otras teorías de conjuntos en las que existe una jerarquía infinita de conjuntos (conjunto de nivel i contiene conjuntos de nivel inferior a i).
• Toda subseminación de un campo es conmutativa.

Ejemplos de espacios numéricos

Son espacios numéricos:

• Números naturales (incluido cero)
• Números cardinales
• Entero
• Números racionales
• Números algebraicos
• Números computables
• Números reales
• Números p-ádicos
• Enteros gaussianos
• Números complejos
• Números hiperreales
• Números superreales
• Números surrealistas
• Campo finito
• Campo

Espacios no numéricos

Los siguientes no son en general espacios numéricos. Con esto quiero decir que hay al menos un caso que no es un espacio numérico.

• Números reales ampliados
  • Puede parecer que deberían considerarse números, porque a menudo parecen quizá útiles. Sin embargo, yo considero los números reales extendidos como un intento fallido de capturar los hiperreales. Hay sutilezas cuando se trata de infinitos. Si usted está utilizando cualquier otra cosa que las propiedades topológicas de infinito o denotar por infinito algún caso especial, a continuación, por lo general con los números reales extendidos que acaba de izquierda confundido (probablemente porque inf - inf se produce). Esto es similar a denotar cada ordinal infinito con el mismo símbolo.
• Números ordinales
  • Excluido debido a la multiplicación no conmutativa. Cuando pienso en ordinales, pienso en inducción transfinita y recursividad transfinita . Lo que se hace con los ordinales no es como lo que se hace con los números.
• Monoide conmutativo
  • Aunque un espacio numérico es un monoide conmutativo aditivo, un monoide conmutativo aditivo puede no venir con una operación de multiplicación. A espacio vectorial se excluye en general.
• Semiring
  • Aunque un espacio numérico es un semiring, la multiplicación en un semiring puede no ser conmutativa. Un conjunto de matrices que forman un semiring se excluye en general.
• Semiring conmutativo
  • Aunque un espacio numérico es un sembrado conmutativo, un sembrado conmutativo puede no ser un subsembrado de un campo. A anillo polinómico es un sembrado conmutativo, pero en general se excluye.
• Semicampo
  • Aunque un espacio numérico es un semicampo, puede que no sea posible extender un semicampo a un campo. Sembrados tropicales y se excluyen los cocientes de polinomios de coeficiente positivo.
• Álgebra geométrica
  • Un álgebra geométrica está en general excluida, debido a la no conmutatividad y a los divisores cero; cualquiera de ellos la excluye de ser un subseminario de un campo. Nótese que las álgebras geométricas pueden contener muchos espacios numéricos como subsembramientos (por ejemplo, números reales y números complejos).
  • También conocida como álgebra de Clifford.
• Números Clifford son sinónimo de álgebra geométrica.
• Números dobles son un sinónimo de cierta álgebra geométrica; excluida debido a los divisores cero.
• Cuaterniones son un sinónimo de cierta álgebra geométrica; excluida por divisores cero y no conmutatividad.
• Octonions y otros Construcciones Cayley-Dickson a partir de cuaterniones quedan excluidas por carecer de conmutatividad, e incluso de asociatividad.
• Los espinores, rotores y versores pueden formularse en álgebras geométricas. Excluidos en general debido a la no conmutatividad.

Abstracciones de software

A la hora de decidir cuál debe ser la definición de un número, en realidad puede ser un buen enfoque pensar en lo que es útil como abstracción de software. Muchas de las estructuras matemáticas pueden traducirse como abstracciones/conceptos en software. En este caso, el objetivo es construir las abstracciones de forma que un único algoritmo funcione con el mayor conjunto posible de tipos. Por lo tanto, el concepto de número debería surgir eventualmente como una abstracción en las bibliotecas que tratan con números y geometría. El punto aquí es que de esta manera el concepto de número surge naturalmente de lo que realmente quieres hacer con los números como una forma de minimizar la duplicación de código, en lugar de sólo de lo que te gustaría que fueran.

Elemento de identidad

El concepto de espacio numérico podría generalizarse ligeramente: en lugar de un subarreglo, exigir que sea un subarreglo (sin el elemento de identidad 1). Entonces el subring de enteros pares sería también un espacio numérico. Por otro lado, esto parece algo arbitrario (por ejemplo, los enteros Impares junto con cero no es un espacio numérico). Por lo tanto, he optado por no hacer esta generalización (al menos por ahora).

Inversos aditivos

He elegido un subseminario en lugar de un subring para que un elemento no necesite tener un inverso aditivo. Esto permite que los números naturales y los números cardinales sean espacios numéricos.

¿Y ahora qué?

¿Quizá no está de acuerdo con mi definición de número o cree que es demasiado estrecha/amplia? Perfecto. Aporte su propia definición y justificaciones, y seguiremos nuestro camino hacia una definición aceptada de número.