Ya hay muchas respuestas buenas. Esta no es una respuesta profunda ni matemática. Es sólo mi opinión sobre el tema. Una "respuesta suave" a tu "pregunta suave", si quieres :)
Para mí, un número es básicamente una constante que tiene nociones equivalentes a la suma y la multiplicación básicas sobre los números naturales. Según esa definición, las Matrices antes mencionadas de las que cada elemento es un número también serían números.
Ahora podría parar ahí. El resto es más bien sobre Números Complejos y un origen alternativo de ellos, fuera de definir la raíz cuadrada de -1 o encontrar raíces a polinomios.
Desde que aprendí Álgebra Geométrica, me gusta pensar que los Números Complejos, los Cuaterniones y las nociones de dimensiones superiores son sólo subconjuntos de las Álgebras Geométricas. Creo que ese nombre ya está reservado para otra cosa, pero llamarlos "Números Geométricos" me parecería adecuado. - Geométricos en el sentido de que esos valores tienen interpretaciones geométricas claras, y números en el sentido de que son constantes que tienen una definición directa de multiplicación y suma.
Tomemos, por ejemplo, un Álgebra Geométrica 2D: Tendrás tus elementos base:
$$ 1, \; x, \; y $$
y se comportan así:
$$ 1 \cdot 1 = 1 \\ 1 \cdot x = x \cdot 1 = x \\ 1 \cdot y = y \cdot 1 = y \\ x \cdot x = y \cdot y = 1 \\ x \cdot y = -x \cdot y := I $$ y con solo aplicar esas reglas, encontrarás que $$I \cdot I = x \cdot y \cdot x \cdot y = \; | \left(x \cdot y = - y \cdot x \right)\\ = -y \cdot x \cdot x \cdot y = -y \cdot \left(x \cdot x \right) \cdot y = -y \cdot 1 \cdot y = \\ = -y \cdot y = -1 $$
Así se obtiene la siguiente tabla de multiplicar:
$$ \begin{matrix} \textbf{1} & \textbf{x} & \textbf{y} & \textbf{I} \\ \textbf{x} & 1 & I & y \\ \textbf{y} & -I & 1 & -x \\ \textbf{I} & -y & x & -1 \end{matrix} $$
Fíjate en dos cosas:
En primer lugar, si piensa en $x$ y $y$ como dos direcciones ortogonales en un plano, $I$ los girará en sentido contrario a las agujas del reloj. Alternativamente se puede pensar en un "operador sandwitching" como $x \cdot y \cdot x = -y$ - este tipo de operación reflejará lo que haya dentro del "sándwich" a lo largo del eje del exterior, el "pan", por así decirlo. Lo mismo ocurre en dimensiones superiores. Sin embargo, el resultado será una estructura más grande. Si lo intentas con tres dimensiones, por ejemplo, $x$ , $y$ y $z$ (el nombre, por supuesto, es arbitrario), terminarás con lo que es esencialmente los cuaterniones como parte del álgebra.
Y en segundo lugar, si usted toma sólo el $1$ y el $I$ juntos, terminas precisamente con los números complejos. Observa cómo $I^2=-1$ .
Si define un número genérico como $a_R \cdot 1 + a_x \cdot x + a_y \cdot y + a_I \cdot I$ Si multiplicamos dos números de este tipo por las reglas de multiplicación anteriores de la misma manera que multiplicaríamos números complejos, tenemos básicamente tres partes diferentes: La "parte escalar" $a_R$ (para los números Complejos, esta es la parte real), la "parte vectorial" $a_x x + a_y y$ (se comporta exactamente como se espera, si se quiere tratar con geometría en un plano) y la parte llamada bivectorial (o 2-vectorial) $a_I I$ (la parte imaginaria de los números complejos, aquí formada por los dos vectores x e y, de ahí el nombre), que actúa como una especie de rotador.
Nótese que el caso 2D es un poco especial porque el bivector simultáneamente es el llamado pseudoescalar. Para 3D se puede encontrar, de una manera muy similar, que tendrá
$$1\\ x, \; y, \; z \\ Ix = yz = xI, \; Iy = zx =yI, \; Iz = xy = zI \\ x \cdot y \cdot z = I$$
Consta de 3 bivectores ortogonales (los tres planos primarios del $\mathbb{R}^3$ ) y el trivector (o 3-vector) $I$ .
Y si juegas con esas álgebras, encontrarás rápidamente formas de expresar el producto escalar y el producto vectorial de forma sencilla. También se mantienen las posibilidades de reflejar o rotar, así como el significado de $1$ y $I$ .
Hay varias extensiones de esto, pero la conclusión es que los números complejos aparecen en todas partes (he dado un ejemplo, la mayoría dio otros) e incluso si no te gusta mi definición anterior de lo que es un número (no me sorprendería si alguien se apresura a objetar), la forma en que usted puede tratar con ellos exactamente como si fueran reales, y las bellas consecuencias que tiene la introducción de los números complejos hace que esté más que justificado llamarlos números.
