¿Qué es exactamente un número?

Question

Acabamos de aprender en clase qué son los números complejos, y la verdad es que no entiendo por qué se llaman números.

Originalmente, un número era un medio de contar (números naturales).

A continuación, ampliamos estos números a casos en los que, por ejemplo, se debe dinero a otras personas (números enteros).

Después, consideramos las fracciones cuando tenemos que repartir cosas como 2 pizzas entre tres personas.

A continuación (omitiendo los números algebraicos a efectos prácticos), utilizamos los números reales para describir cualquier longitud; por ejemplo, la longitud de una diagonal de un cuadrado unitario.

Pero es entonces cuando nuestra definición original de número deja de tener sentido: cuando consideramos los números complejos, lo que me lleva a mi pregunta principal: ¿cuál es una definición rigurosa de "número"?

Wikipedia afirma que "Un número es un objeto matemático utilizado para contar, etiquetar y medir", pero esta definición deja de tener sentido después de que ampliemos $\mathbb{R}$ .

¿Conoce alguien alguna definición de número que pueda generalizarse también a los números complejos (e incluso a sistemas numéricos de orden superior como los cuaterniones)?

Answer 1

En realidad, los ejemplos "prácticos" de números empiezan a romperse en $\mathbb{R}$ . Sí, los números algebraicos tienen interpretaciones en geometría (aunque éstas son ya más abstractas que deberle a alguien un dólar o partir una pizza), pero hay muchos números en $\mathbb{R}$ que no son algebraicas y de hecho no son realmente describibles de ninguna manera ordinaria.

Por otra parte, los números en $\mathbb{C}$ pueden interpretarse como puntos en un plano. Y extendiendo $\mathbb{R}$ a $\mathbb{C}$ nos aseguramos de que todos los polinomios en $x$ tienen una factorización en factores que son lineales en $x$ ; equivalentemente, un polinomio de grado $n$ tiene $n$ raíces. Así que al igual que los números reales nos permiten resolver problemas que los racionales no, los números complejos nos permiten resolver problemas que los reales no.

Answer 2

¿Alguien conoce alguna definición de número que a los números complejos (e incluso a los sistemas numéricos de orden superior, como el los cuaterniones)?

Hay consenso general en que no es posible que exista tal definición. "Número" es un concepto intrínsecamente esponjoso. Sin embargo, una buena pauta es: si la analogía con cualquiera de los sistemas numéricos habituales $\mathbb{Z},\mathbb{Q}, \mathbb{R},\mathbb{C}$ es fructífero y merece ser destacado, es libre de llamarlo número.

Ejemplos:

1. Los cuaterniones
2. Los números ordinales
3. Los números cardinales
4. Los números surreales / números surcomplejos
5. Los tipos de isomorfismo de conjuntos totalmente ordenados
6. Los tipos de isomorfismo de conjuntos parcialmente ordenados

Answer 3

No existe una definición rigurosa de número.

No tiene sentido llegar a una definición rigurosa de número hasta que no haya alguna definición específica (y esperemos que útil ) que desea formalizar: y ya tenemos formalizaciones de conceptos como "número real" si ése es el concepto específico del que queremos hablar.

Por otra parte, he utilizado los números complejos para etiquetar y medir cosas, por lo que llamar "números" a los números complejos sigue teniendo sentido según la definición de Wikipedia.

Incluso he utilizado cosas mucho más exóticas para los fines que delimita Wikipedia: por ejemplo, hay cosas que he etiquetado y medido utilizando grupos abelianos. Por ejemplo, la homología se puede utilizar para medir diversas propiedades de los espacios topológicos, y los valores de dicha medida son los grupos abelianos. (no elementos de grupos abelianos, sino los propios grupos abelianos)

Answer 4

Aquí hay dos escuelas de pensamiento:

1 - Intuitive quantity.
2 - Arithmetic quantity.

En mi caso, me quedo con el Intuitivo concepto, lo que significa: restringir el concepto de número - en la medición de la cantidad, ya sea positiva o negativa. (Conjunto de números reales)

Los números complejos son un problema porque miden más que la cantidad. Tienen algún tipo de "dirección", pero no se comportan aritméticamente como los vectores x,y normales.

En cambio, los números complejos pueden representarse mediante una matriz:

 a -b
 b  a

En Aritmética sugiere que los números son cualquier cosa que obedezca de forma consistente a ciertos operadores aritméticos definidos arbitrariamente. Estos números no corresponden necesariamente a algo físico, es decir, a la cantidad. Más bien representan datos en bruto.

Dado que estos números son coherentes con sus operadores correspondientes, su uso en ecuaciones es útil, porque sigue siendo coherente.

Answer 5

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