Una pregunta básica es, ¿cuál sería el propósito de tal definición? ¿Aclararía algo una definición que, por ejemplo, incluyera los cuaterniones y no las matrices o las funciones analíticas?
La mayoría de los usos del término "número" se deben a elecciones históricas que han perdurado. Me interesaría ver cosas que se llamaron "números" inicialmente, pero que ahora no se llaman "números", supongo, pero cualquier definición que se aplique es sólo un truco para justificar elecciones en los límites, creo.
Como ya he dicho, no he visto que a los cuaterniones se les llame "números". Decimos $1+i$ es un "número complejo", pero sólo decimos $1+i+j+k$ es un "cuaternión". Al menos en mi experiencia.
Números algebraicos
En "teoría de números", a menudo tratamos con "extensiones algebraicas" de los números racionales. Por ejemplo, $\mathbb Q(\sqrt{2})$ es el conjunto de números de la forma $a+b\sqrt 2, a,b\in\mathbb Q$ . Pueden considerarse un subconjunto de $\mathbb R$ pero en realidad existen de forma más abstracta - por ejemplo, algebraicamente, no sabemos si $\sqrt{2}<0$ o $\sqrt{2}>0$ - el número existe como un objeto algebraico en su totalidad - un objeto que, cuando se eleva al cuadrado, es igual a $2$ .
Lo mismo ocurre con $\mathbb Q(\sqrt{-1})$ . Sería extraño llamar $\sqrt{2}$ un "número" y no llamar $\sqrt{-1}$ un "número" en este contexto. Los matemáticos llaman a los dos campos "campos numéricos algebraicos".
Por ejemplo, $\mathbb Q(\sqrt[3]{2})$ puede considerarse isomorfo a un subconjunto de $\mathbb R$ pero también es isomorfo a un subconjunto (diferente) de $\mathbb C$ .
Números complejos
También hay formas de ver, dentro de los "números reales", que los números complejos tienen más o menos que existir. Mi forma favorita: Si nos fijamos en el radio de convergencia de la serie de Taylor de $f(x)=\frac{1}{x^2-x}$ en $x=a$ se obtiene que el radio de convergencia es $\min(|a|,|a-1|)$ . Es decir, los ceros del denominador "bloquean" la serie de Taylor. Si observamos la serie de Taylor de $g(x)=\frac{1}{1+x^2}$ a un número real $x=a$ se obtiene que el radio de convergencia es $\sqrt{1+a^2}$ . Hay algo (un cero de $1+x^2$ ?) "bloqueo" de la serie de Taylor de $g(x)$ que parece que es exactamente una distancia $1$ de $0$ en dirección perpendicular a la recta real.
Los números complejos también son necesarios para descomponer las matrices reales en sus componentes. Bueno, no son "necesarios", pero la representación de matrices en, por ejemplo, la forma canónica de Jordan, resulta bastante más complicada sin los números complejos. Así que los números complejos, curiosamente, hacen que las matrices parezcan más regulares (o, si lo prefieres, ocultan la complejidad).
Además, los números complejos son realmente necesarios para entender la teoría cuántica en física. Todo lo que crees intuir sobre el universo, en términos de que las "medidas" son números reales, empieza a desmoronarse a nivel cuántico. El universo es mucho más extraño de lo que parece.
$p$ -Números arcaicos
$p$ -Los números ádicos se llaman probablemente "números" porque su construcción es esencialmente "la misma" que la construcción de los reales, sólo que utilizando una métrica diferente en $\mathbb Q$ y porque pueden utilizarse para responder a preguntas sobre los números naturales.
Ordinales, Cardinales
Los números ordinales y cardinales representan un tipo diferente de extensión de los números naturales.
Pienso en los "ordinales" como si fueran los resultados de una carrera sin empates. Cada corredor tiene un resultado "ordinal" y cualquier subconjunto no vacío de los corredores tiene un "ganador".
Los números cardinales son como un montón de judías, y determinar si dos montones de judías tienen la misma cantidad.
Los ordinales son, con diferencia, los más extraños, porque incluso la suma de ordinales no es conmutativa.
En este caso, pues, ordinales y cardinales son "medidas" de algo.
Definiciones de números reales no estándar
También hay muchas variaciones de los números reales que llamamos "números", básicamente porque son una variante de los números reales.
Conclusión: Exclusiones
Lo más difícil de encontrar una definición de "número" es excluir: ¿Por qué no llamamos "números" a matrices, o funciones, u otras cosas similares? Las cosas que vemos principalmente como funciones no se consideran "números", pero es difícil excluirlas con algo riguroso. De hecho, una forma de ver los números complejos es como un subanillo del anillo de los reales $2\times 2$ matrices, y una de las razones por las que necesitamos los números complejos es que son excelentes para representar la operación de rotación, por eso los vemos al estudiar matrices reales.
Los divisores cero son a menudo una señal de que una cosa no es un número, pero tenemos $g$ -números ádicos con $g$ no primo, que es un anillo con divisores cero. (Normalmente, $g$ -En realidad, los números ádicos no se utilizan en ninguna parte, ya que sólo son productos de anillos de $p$ -números arábigos...)
¿Alguien se refiere a los elementos del anillo $\mathbb Z/n\mathbb Z$ como "números"? No según mi experiencia.
Tampoco he visto que a los elementos de campo finito se les llame "números".
Así que no, toda la historia de las matemáticas no ha atribuido un único significado lógico a la palabra "número", de modo que podamos distinguir lo que es y lo que no es un número. Como se ha señalado en los comentarios, "números de Cayley" es otro nombre para los octoniones, pero hay cero ocurrencias en Google NGram de la frase en singular "número de Cayley". ¿Así que los octoniones son números, pero un solo octonión no es un "número"? Así es el mundo en el que vivimos. El número, siendo la idea más básica de las matemáticas, se generaliza de muchas maneras interesantes, no todas consistentes, y no de la misma manera a lo largo del tiempo.
Recordemos que los antiguos no definían $0$ como un "número".
P: ¿Cuántas judías tiene?
R: No tengo judías.
(Sospecho que este fallo se debió a la confusión entre cardinales y ordinales - contamos cardinales finitos ordenando arbitrariamente y luego calculando el ordinal del último elemento, pero eso falla al contar una colección vacía...).
