Demuestra sin evaluar las integrales que: $$2\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{x\ln(1-\sin x)}{\sin x}dx=\int_\frac{\pi}{2}^\pi\frac{x\ln(1-\sin x)}{\sin x}dx\label{*}\tag{*}$$
O lo que es lo mismo: $$\boxed{\int_0^\pi\frac{x\ln(1-\sin x)}{\sin x}dx=3\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{x\ln(1-\sin x)}{\sin x}dx}$$ En contraste tenemos: $$\boxed{\int_0^\pi\frac{\ln(1-\sin x)}{\sin x}dx=2\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\ln(1-\sin x)}{\sin x}dx}$$ Por supuesto, esto es fácilmente demostrable dividiendo la integral como $\int_0^\frac{\pi}{2}+\int_\frac{\pi}{2}^\pi$ y dejando $x\to \pi-x$ en la segunda parte, desgraciadamente este método no funciona para la otra.
Ya sé cómo evaluar las integrales como lo hemos hecho: $$\mathcal I= \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{x\ln(1-\sin x)}{\sin x} dx\overset{\tan \frac{x}{2}\to x}=-2\int_0^1 \frac{\arctan x}{x}\ln\left(\frac{1+x^2}{(1-x)^2}\right)dx=-\frac{\pi^3}{8}$$ Y esta última integral se evalúa de muchas maneras aquí así que si tiene otros enfoques, por favor, añádalos allí.
Así es como se me ocurrió $\eqref{*}$ :
Sabía por aquí eso: $$I\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\ln(1-\sin x)}{\sin x}dx=-\frac{3\pi^2}{8}$$ Y como este resultado es muy parecido al anterior, he intentado demostrar que $\mathcal I=\frac{\pi}{3} I\left(\frac{3\pi}{2}\right)$ , equivalente a: $$\boxed{\int_0^\frac{\pi}{2}\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\frac{\ln(1-\sin x)}{\sin x}dx=0}$$
También me he dado cuenta de que tenemos: $$\mathcal J=\int_\frac{\pi}{2}^\pi\frac{x\ln(1-\sin x)}{\sin x}dx\overset{x\to \pi-x}=\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{(\pi-x)\ln(1-\sin x)}{\sin x}dx=\pi I\left(\frac{3\pi}{2}\right)-\mathcal I$$ $$\Rightarrow \mathcal I+\mathcal J=\int_0^\pi \frac{x\ln(1-\sin x)}{\sin x}dx=\pi I\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-\frac{3\pi^3}{8}$$ Por supuesto ahora es trivial deducir que $2\mathcal I=\mathcal J$ ya que conocemos el resultado para $\mathcal I$ , pero me interesa mostrar esa relación sin hacer uso del resultado ni calculando ninguna de las integrales. Si es posible mostrando $\eqref{*}$ utilizando únicamente la manipulación integral (herramientas elementales como la sustitución/integración por partes, etc.). Espero que haya una buena manera de hacerlo, ya que dará una fácil evaluación de la integral principal.
