Tiempo Cambiando un proceso Levy para deshacerse de múltiples

Question

Supongamos que tengo un proceso Levy $Z_t\triangleq A*X_t$ donde $A$ es un $d\times d$ -y $X_t$ también es Levy. Entonces, ¿bajo qué cambio de tiempo $T(t)$ es $$ Z_{T(t)}=X_t? $$

Por ejemplo, si $X_t$ es (d=1)-dimensional sé que $$ T(t)=\frac{t}{A}, $$ funciona, pero ¿cómo puedo traducir esto a $d\geq 1$ ¿Dimensiones?

Answer 1

Como muestra el siguiente ejemplo, en general no existe tal cambio temporal, ni siquiera en la dimensión $d=1$ .

Sea $(X_t)_{t \geq 0}$ sea un proceso de Poisson con intensidad $\lambda>0$ y establece $Z_t := 2X_t$ . Por la propia definición, $Z_t$ sólo toma valores en $2 \mathbb{N}_0 =\{0,2,\ldots\}$ y, por lo tanto $$\mathbb{P}(\forall t \geq 0: Z_{T(t)}\in 2 \mathbb{N}_0)=1$$ para cualquier cambio de hora $(T(t))_{t \geq 0}$ . Dado que el proceso de Poisson $X_t$ toma valores en $\mathbb{R} \backslash (2 \mathbb{N}_0)$ con probabilidad $>0$ esto significa que no puede existir un cambio de tiempo tal que

$$Z_{T(t)} \stackrel{d}{=} X_t.$$

En particular, no podemos encontrar $(T(t))_{t \geq 0}$ tal que $Z_{T(t)} = X_t$ casi seguro.