El artículo de Sciama, Sobre el origen de la inercia

Question

En su artículo "Sobre el origen de la inercia" , Sciama identifica

$\frac{\Phi + \phi}{c^2} = -\frac{1}{G}$

Esta identidad me ha confundido porque me pregunto cómo surge el lado derecho ya que $\frac{\phi}{c^2}$ es una cantidad adimensional, a menudo vista en la fórmula del desplazamiento al rojo. Supongo que realmente se refería a esta fórmula, ya que a continuación establece

$G\Phi = -c^2$

(o también puede verse como)

$\phi =- \frac{c^2}{G}$

Echando un vistazo a una solicitud, da

$\frac{m}{r^2} = -(\frac{\Phi + \phi}{c^2})\frac{dv}{dt}$

ya que la velocidad es $\frac{dx}{dt}$ entonces $\frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$ que es un término de aceleración. El término de la izquierda, si es el único que hay (sin otras constantes adicionales ajustadas a 1) se calcula diciendo

$F = ma = GM \frac{m}{r^2}$

Dividir $GM$ y da

$\frac{a}{G} = \frac{m}{r^2}$

En el que efectivamente obtenemos una constante newtoniana inversa $G^{-1}$ y un término de aceleración $a$ lo que significa $-(\frac{\Phi + \phi}{c^2})$ también debe definirse en unidades de $-\frac{1}{G}$ . Esto parece deberse a la diferencia de dimensiones que contiene el potencial conocido como Tensión y el que suele atribuirse a la gravitación newtoniana $\phi$ .

Leter las dimensiones parecen tener sentido para mí. Para la relación Sciama:

$\frac{m}{r^2} = \omega^2r$

Para ser cierto, debe ser asumido $G=1$ en unidades normales

$\frac{m}{r^2} = \frac{\omega^2r}{G}$

Sciama utiliza la definición gravitacional del potencial de la siguiente manera:

$-\frac{M}{r^2} - \frac{\phi}{c^2} \frac{\partial v}{\partial t}$

y $\phi = \frac{Gm}{r}$ el potencial escalar. Estas dimensiones tienen sentido, donde Sciama ha fijado la constante de Newtons en 1. Así que con respecto a

$\frac{\Phi + \phi}{c^2} = -\frac{1}{G}$

¿cómo surge esto dimensionalmente?

Answer 1

$\frac{\phi}{c^2}$ es una cantidad adimensional, a menudo vista en la fórmula del desplazamiento al rojo

Esto suele ocurrir cuando se tiene algo como $\phi = -GM/r$ . Pero por alguna razón, Sciama optó por dejar el factor de $G$ fuera de su definición del potencial. Esto se puede ver en su ecuación (1): \begin{equation} \Phi = - \int_V \frac{\rho}{r}\, dV. \tag{1} \end{equation} Normalmente, veríamos un factor de $G$ al frente. Del mismo modo, cuando introduce $\phi$ justo debajo de su ecuación (4), se ve que define $\phi = -M/r$ . Una vez más, nos sorprende no ver el $G$ . No es sólo que esté usando unidades geométricas utiliza el valor cgs real de $G$ pero realmente no tiene $G$ en estas expresiones.

Sospecho que la razón por la que toma $G$ es porque -como menciona en el resumen- su teoría permite estimar la cantidad de materia del universo a partir del conocimiento de la constante gravitatoria. Así pues, la constante gravitatoria no es tanto una constante de proporcionalidad fundamental de la teoría, como lo es en las teorías de Newton y Einstein, sino una cantidad que hay que medir y relacionar con otra propiedad (no tan absoluta) del universo.

Para completar la información, he aquí una lista de las unidades de diversas cantidades tal y como las utiliza Sciama. (Trabaja explícitamente en cgs a partir de la sección 4). \begin{gather} [G] = \frac{\mathrm{cm}^3}{\mathrm{g}\ \mathrm{s}} \\ [c] = \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}} \\ [M] = \mathrm{g} \\ [r] = \mathrm{cm} \\ [\phi] = \left[ -\frac{M}{r} \right] = \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}} \\ \left[\frac{\phi}{c^2}\right] = \frac{\mathrm{g}\ \mathrm{s}^2}{\mathrm{cm}^3} = \left[ \frac{1}{G} \right] \end{gather} Usted puede ver que funciona de manera que $\phi/c^2$ es dimensionable y, de hecho, tiene las mismas unidades que $1/G$ .