Proposición: Si $\sum x_i$ es una serie incondicionalmente convergente en un espacio de Banach $X$ entonces $S=\{\sum_{i=1}^n \varepsilon_ix_i:n\in\mathbb N, \varepsilon_i=\pm1\}$ es precompacta.
Prueba:
1) $S'=\{\sum^\infty \varepsilon_ix_i:\varepsilon_i=\pm1\}$ es compacto
2) $2\sum_{i=1}^n\varepsilon_ix_i=\sum_{i=1}^\infty\varepsilon_ix_i+\sum_{i=1}^\infty\varepsilon_i'x_i$
donde $\varepsilon_i=\varepsilon_i'$ para $i=\overline{1,n}$
y $\varepsilon_i=-\varepsilon_i'$ para $i=\overline{n,\infty}$
3) Por lo tanto, $S$ es precompacta.
Problema: Para demostrar que $S$ es precompacta, basta con examinar los límites de las secuencias en $S$ (ya que los espacios métricos son Hausdorff). Aparentemente, la prueba lo hace de otra manera.
Según mi interpretación, se puede expresar cualquier elemento en $S\over 2$ como suma de dos elementos en $S'$ . Sin embargo, de ello no se deduce que $\overline {S\over 2}=S'$ que casi concluiría la prueba... ¿Cómo puedo entender mejor este concepto? Cualquier ayuda será apreciada.
