¿Es la OEIS A248049 una secuencia entera?

Question

En Secuencia OEIS A248049 se define por

$$ a_n \!=\! \frac{(a_{n-1}\!+\!a_{n-2})(a_{n-2}\!+\!a_{n-3})}{a_{n-4}} \;\text{with }\; a_0\!=\!2, a_1\!=\!a_2\!=\!a_3\!=\!1.$$

es aparentemente una secuencia entera pero no tengo pruebas. Tengo pruebas numéricas usando PARI/GP y Mathematica solamente. Es un verdadero problema porque su compañero Secuencia OEIS A248048 tiene el mismo recursión con $\,a_0=-1, a_1=a_2=a_3=1\,$ pero ahora $\,a_{144}\,$ tiene un denominador de $2$ . Existe un parecido con la secuencia Somos-4 pero eso probablemente no ayudará con una prueba de integralidad.

Tengo algunos interesantes no probado observaciones sobre su factorización algebraica y $p$ -adically for a few small values of $p$ pero nada que demuestre la integralidad. Por ejemplo, si $\,x_0,x_1,x_2,x_3\,$ son indeterminados, y utilizamos valores iniciales de $$ a_0=x_0,\; a_1=x_1,\; a_2=x_2,\; a_3=x_3 \;\text{ and }\; x_4 := x_1+x_2,$$ con la misma recursividad, entonces $\,a_n\,$ tiene como denominador un monomio en $\,x_0,x_1,x_2,x_3,x_4\,$ con exponentes de Secuencia OEIS A023434 . Desde $\,x_0=x_4=2\,$ con la secuencia original no puedo probar que el numerador tiene suficientes potencias de $2$ para compensar. Otro ejemplo de ejemplo es que $\,a_{12n+k}\,$ es impar para $\,k=1,2,3\,$ y incluso para las otras clases de residuos modulo $12$ . También tengo algunas observaciones adicionales sobre su $2$ -valoracionadic comportamiento que no puedo probar.

Por cierto, la secuencia crece muy rápido. Mi mejor estimación es $\,\log(a_n) \approx 1.25255\, c^n\,$ donde $\,c\,$ es la constante plástica Secuencia OEIS A060006 . Observe que $$x^4-x^3-x^2+1 = (x-1)(x^3-x-1) $$ y $\,c\,$ es la raíz real del factor cúbico.

¿Puede alguien demostrar la integralidad de A248049?

Answer 1

Una prueba de integralidad puede basarse en álgebra elemental y algunas observaciones afortunadas. Los comentarios de Darij Grinberg me han recordado algunos de mis trabajos que hice en 2013 y a los que no hice no seguí adecuadamente.

Factorización del $\,a_n\,$ sugiere el Ansatz

$$ a_n = p_n p_{n+1} p_{n+2} p_{n+3} $$

donde $\,p_n\,$ es una secuencia aún por determinar. La secuencia $\,a_n\,$ se supone que satisface una recurrencia. Por ejemplo, debemos tener

$$ a_4a_0 = (a_1+a_2)(a_2+a_3). $$

Reescribiendo esta ecuación en términos de $\,p\,$ y resolviendo para $\,p_7\,$ da la solución racional

$$ p_7 = \frac{(p_1 + p_5)(p_2 +p_6) p_3 p_4}{p_0 p_1 p_6}. $$

Reescriba esto como una ecuación polinómica para obtener

$$ p_6p_0p_7p_1 = (p_1 + p_5)p_3(p_2 + p_6)p_4. $$

Supongamos ahora que $\,p_n\,$ satisface la recurrencia

$$ p_n = p_{n-3}\frac{p_{n-1} + p_{n-5}}{p_{n-6}}. $$

Comprueba que esta recurrencia satisface el polinomio para $\,p_7.\,$

Desde el $\,p_n\,$ recurrencias para $\,n=9\,$ y $\,n=6\,$ tenemos

$$ p_9p_3 = (p_4 + p_8)p_6 \quad \text{ and } \quad p_6p_0 = (p_1 + p_5)p_3. $$

Combinando las dos ecuaciones se obtiene simplemente

$$ (p_0 + p_4 + p_8)p_6 = (p_1 + p_5 + p_9)p_3. $$

Esto implica que el número

$$ c := \frac{ p_0 + p_4 + p_8 }{p_3 p_4 p_5} = \frac{ p_1 + p_5 + p_9 }{p_4 p_5 p_6}$$

es constante y, por tanto, la secuencia $\,p_n\,$ satisface el ecuación

$$ p_{n}+p_{n-4}+p_{n-8} = c\,p_{n-3}p_{n-4}p_{n-5}. $$

Por cierto, definiendo otra constante

$$ s := \sqrt{(a_2+a_1)a_2a_0/(a_3a_1)} $$

implica la ecuación

$$ c = s\frac{(a_0+a_1+a_2)(a_1+a_2+a_3)}{a_0a_2(a_1+a_2)}, $$

o, de forma más simétrica, puede escribirse como

$$ c = \frac{(a_0+a_1+a_2)(a_1+a_2+a_3)} {\sqrt{a_0a_1a_2a_3(a_1+a_2)}}. $$

Dados los valores de $\,p_0\,$ y $\,p_1\,$ entonces $\,p_2 = s/p_0\,$ y $\,p_3 = a_0/(p_1s)\,$ mientras que las dos secuencias están relacionadas por $\,p_n = p_{n-4}a_{n-3}/a_{n-4}.\,$

Si los términos de la secuencia $\,p_0, p_1,\dots, p_7\,$ son números enteros y la constante $\,c\,$ es un número entero, entonces esto implica que $\,p_n\,$ es una secuencia entera, y también $\,a_n\,$ utilizando el Ansatz. En nuestro caso, $\,c=6\,$ y la secuencia $\,p_n\,$ comienza $\,1,1,1,1,1,1,2,3,4,10,33,140,\dots.\,$ Esta secuencia ya la conocía en 2013 pero me creo que no la relacioné con A248049 en aquel momento.

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Un ejemplo más sencillo de una secuencia similar a $\,p\,$ es OEIS A064098 con $$ a_na_{n-3} = a_{n-1}^2 + a_{n-2}^2 $$ y ahora con una constante $$ c := \frac{a_n^2+a_{n+1}^2+a_{n+2}^2} {a_na_{n+1}a_{n+2}} $$ tal que la secuencia $\,a_n\,$ también satisface $$ a_n + a_{n-3} = c\,a_{n-1}a_{n-2}. $$