Cuadrática conjuntos de Julia y periódica de los ciclos de

Question

Considere la función $f_c(z) = z^2 + c$. La aplicación de esta función en repetidas ocasiones, tenemos la conocida cuadrática conjuntos de Julia que fractal entusiastas de grabar ciclos de cálculo del trazado.

El infinito es siempre un atractor del sistema. Dependiendo de la elección de $c$, de un número finito de atractor también puede existir. A veces esto es un punto fijo. A veces es un ciclo de repetición de algún número finito de puntos.

Considere el caso de un punto fijo. El real valor numérico de este punto fijo depende de $c$. Así que me puse a investigar una manera de calcular este número directamente.

Un punto fijo de $f_c$ es simplemente cualquier $z$ que $f_c(z) = z$. En otras palabras, queremos arreglar $z^2 + c = z$. Reorganización como $z^2 - z + c = 0$, yo era fácilmente capaz de encontrar

$$z_1 = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4c}}2$$

En este punto, algo me llamó la atención: en Primer lugar, obviamente, hay dos fijo de puntos, de los cuales sólo uno es el finito atractor. Pero, más visiblemente, estos dos fijos-puntos de existir siempre. Incluso cuando no hay ningún punto fijo atractor, que sin duda son los dos puntos fijos.

¿Qué acerca de un período de 2 ciclos? Es decir, queremos solucionar $f_c(f_c(z)) = z$. La solución de $(z^2 + c)^2 + c = z$ es un poco más complicado que el anterior en la ecuación, pero la fórmula para $z_1$ nos da dos de las soluciones, y, a continuación, afortunadamente fácil descubrir a los otros dos:

$$z_2 = \frac{1 \pm \sqrt{-3-4c}}2$$

De nuevo, este ciclo siempre existe.

En este punto, he tratado de encontrar un período de 3 ciclo. Claramente $((z^2 + c)^2 + c)^2 + c = z$ 8 soluciones, dos de los cuales son $z_1$, lo que deja a los 6 restantes. En este punto, yo era incapaz de encontrar la manera de resolver la ecuación. El poderoso Mathematica™ también se negó a darme una forma cerrada. (Supongo que es plausible que no existe ninguno.)

Parece claro que estas soluciones existen, incluso si no puedo fácilmente calcular . Y si hay 6 de ellos, que es presumiblemente un par de período de 3 ciclos. Más en general, parece que no hay ninguna razón por la que los ciclos de cualquier longitud finita no existe todo el tiempo. Así que, mi pregunta es esta: ¿a Dónde van todos estos periódicos ciclos de "vivir" cuando no es el atractor del sistema?

Answer 1

Hay un montón de cosas interesantes en esta pregunta, pero voy a hacer mi mejor esfuerzo para mantener esta respuesta organizada.

(1) Ya que se trabaja a través de los números complejos, que son algebraicamente cerrado, el polinomio de la ecuación de $f^{\circ n}_c(z) = z$ siempre ha $2^n$ soluciones cuando contados con su multiplicidad, incluso si usted no puede resolver explícitamente para ellos.

(2) no es desgraciadamente el caso de que $f_c$ ha experimentado ciclos de cada posible (exacta) período. Por ejemplo, se puede comprobar que $f(z) = z^2 - \frac{3}{4}$ no tiene plazo, $2$ en puntos que no son puntos fijos. Sin embargo, este comportamiento ha sido estudiado, y sabemos exactamente cuándo racional mapa puede ser falta de puntos de un período determinado:

Supongamos que $f\in \mathbb{C}(z)$ es un racional mapa de grado $d\geq 2$, y supongamos que $f$ no tiene ciclo de período exacto $n$. A continuación, la tupla $(n,d)$ es $(2,2)$, $(2,3)$, $(3,2)$, o $(4,2)$. Por otra parte, si $f$ es un polinomio, sólo $(2,2)$ puede ocurrir.

Este es un thorem de I. N. Baker probar en el papel de "Fixpoints de polinomios y racional fucntions." (1964), En particular, para los mapas de $f_c$ usted está considerando, que sin duda tienen puntos de período exacto $n$ todos los $n\geq 3$. Para una excelente discusión de estos temas, te recomiendo la sección 4.1 de Joe Silverman del libro "La media Aritmética de los Sistemas Dinámicos."

(3) Si entiendo correctamente, usted está asumiendo que el $c$ has elegido es tal que $f_c$ tiene un número finito de atraer ciclo. El Fatou-Shishikura teorema dice que hay en la mayoría de las $2$ no-rechazo de los ciclos. Usted ha identificado estas como $\infty$ y el finito atraer ciclo. De ello se sigue que todos los demás ciclos de la rechazan, y por lo tanto vivir en la Julia. Espero que su respuesta real a la pregunta. Para una prueba simple de Fatou-Shishikura en el caso del polinomio mapas, ver Teorema VI.1.2 de Carleson y Gamelin del libro "la Dinámica Compleja."

Answer 2

Para un caso muy simple, recoger $c=0$.

Si $|z| > 1$, entonces la secuencia de itera generado por $z$ diverge a infinito.
Si $|z| < 1$, entonces la secuencia generada por $z$ converge a $0$.
La parte interesante es lo que sucede a lo largo del círculo $|z|=1$.

En este círculo, se obtiene periódico puntos de cualquiera de los períodos, así como los puntos cuya secuencia no es periódico, y a veces denso es de ese círculo. Para ver esto, la observación de que $\arg(f(z)) = 2z$, así que usted puede entender $f$ mejor si nos fijamos en lo que hace a $arg(z)/2\pi$ : es la multiplicación por $2$ mapa de $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ a sí mismo.

Si usted escribe los números de $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ en sus binario de expansión, los puntos cuya órbita es $k$-periódico son exactamente los puntos con un $k$-periódico binario de expansión. Por ejemplo, los dos $3$-periódico órbitas corresponden a los binarios de las expansiones : $(.001001 \ldots \to .010010 \ldots \to .100100 \ldots \to .001001 \ldots)$ y $(.011011 \ldots \to .110110 \ldots \to .101101 \ldots \to .011011 \ldots)$. De hecho, si un binario de expansión de la es $3$-periódico sin ser $1$-periódico, entonces tiene que ser uno de los $6$ números.

Usted puede hacer lo mismo para las órbitas de cualquier longitud : usted puede encontrar fácilmente todos los puntos en el círculo que genera un periódico de la secuencia durante cualquier periodo de tiempo que desee.
Además de estos puntos, usted tiene todos los puntos que se corresponden en última instancia periódica de las secuencias binarias, que son los puntos sobre el círculo que en algún punto de la tierra en uno de los $k$-ciclos.
Todos los puntos se corresponde con los números racionales de $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$.

Entonces hay una cantidad no numerable de puntos de la circunferencia, por lo que hay una cantidad no numerable de puntos que nos hemos perdido hasta ahora. Algunos de ellos tienen una órbita que es denso en el círculo. Algunos de ellos tienen un comportamiento extraño, por ejemplo, si se inicia desde la $.01001000100001\ldots$, esto va a ser arbitrariamente cerca de $0$ solo para llegar más lejos y más lejos de él, acercarse a $.1$ y luego saltar de nuevo, incluso más, a $0$.

Así que en este caso simple, $\mathbb{C}$ se divide en dos bloques abiertos, la cuenca de atracción de $\infty$, la de la $0$, y entre ellos es un subconjunto cerrado de $\mathbb{C}$ cuando todos los demás ciclos se oculta y caótico comportamiento que ocurre.

En general, usted tendrá el mismo tipo de imagen : $\mathbb{C}$ se divide en uno o más (en realidad no sé si siempre hay un atractivo ciclo de trabajo en $\mathbb{C}$) abrir subconjuntos que son las cuencas de atracción, mientras que la frontera entre ellos es donde todos los demás ciclos se oculta (pero hay).

Answer 3

Un ordenador puede encontrar soluciones para esto, pero las soluciones no se puede poner en una forma que se pueden asignar a cualquier otra forma - el máximo que puede hacer es encontrar un periódico punto de período 3 en la 2 bombillas en la parte superior y la parte inferior del conjunto de Mandelbrot, y la otra en el eje real negativo por la expansión de la LHS, recogiendo en el lado izquierdo, y el establecimiento $z=0$.