otras raíces de un polinomio mínimo

Question

Si $f(x)$ es el polinomio mínimo de $\alpha$ sobre algún campo $K$ entonces es $f$ siempre el polinomio mínimo de todas sus otras raíces sobre $K$ ¿O hay contraejemplos?

Answer 1

Sí. Las otras raíces del polinomio mínimo de $f$ son todos elementos conjugados de $\alpha$ . Sea $\beta\neq \alpha$ sea otra raíz de $f$ . Supongamos que existe $g$ tal que $\beta$ es una raíz de $g$ y $\text{deg}(g)<\text{deg}(f)$ . Entonces todas las raíces de $g$ son elementos conjugados de $\beta$ lo que significa que todas las raíces de $g$ serían raíces de $f$ lo que implicaría que $g|f$ . Esto contradice la idea de que $f$ es irreducible.

Answer 2

En efecto, esta propiedad es siempre cierta. Recordemos que el polinomio mínimo de un número algebraico $x$ debe dividir cualquier otro polinomio para el que $x$ es una raíz.

El polinomio mínimo de $\alpha$ es irreducible sobre $K$ (si $f$ fueran compuestos, digamos $f = gh$ entonces $f(\alpha)=0$ implica $g(\alpha)=0$ o $h(\alpha)=0$ así que $g$ o $h$ sería un polinomio más pequeño para el que $\alpha$ es una raíz). Ahora bien, si $\beta$ es otra raíz de $f$ entonces el polinomio mínimo de $\beta$ debe dividir $f$ y por lo tanto tiene que ser $f$ sí mismo.