Medida uniformemente regular "Babiker"

Question

Medidas de probabilidad regulares de Borel (Radon) $\mu$ en un espacio compacto de Hausdorff $X$ se llama uniformemente regular si:

Existe una familia contable $\mathcal{A}$ de compacto $G_\delta$ -subconjuntos de $X$ tal que para cada conjunto abierto $U\subseteq X$ y cada $\epsilon >0$ hay $A\in\mathcal{A}$ tal que $A\subseteq U$ y $\mu(U\setminus A)<\epsilon$ ,

o equivalentemente,

Existe una secuencia $\{U_n\}$ de subconjuntos abiertos de $X$ tal que $\mu(K)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\mu(U_n)$ para todo conjunto compacto $K\subseteq X$ y $K\subseteq U$ .

He visto en muchos periódicos, que se dice:

"Claramente" Cada medida $\mu$ en un espacio métrico compacto es uniformemente regular?

Así que no sé cómo probar este hecho ¡se agradece cualquier idea!

Answer 1

En un espacio métrico, los conjuntos cerrados son $G_\delta$ y hay $(U_k,k\in\Bbb N)$ una base contable de conjuntos abiertos. Para cada $k$ considera $(K_{k,j},j\in\Bbb N)$ una secuencia de subconjuntos compactos de $U_k$ tal que $\mu(U_k\setminus K_{k,j})<2^{-k}j^{-1}$ .

Es posible, ya que en este contexto un conjunto abierto es una unión contable de conjuntos cerrados.

Sea $U$ abierto y $\varepsilon>0$ . Entonces $U=\bigcup_{k\in I}U_k$ para algunos $I\subset\Bbb N$ . Hay $N$ tal que $\mu(U\setminus\bigcup_{k\in I\cap [N]}U_k)<\varepsilon$ . Ahora para $k\in [N]$ Toma $j$ tal que $j^{-1}<\varepsilon$ . Entonces $K:=\bigcup_{k=1}^NK_{k,j}$ da lo que queremos.