serie taylor de $\ln(1+x)$ ?

Question

Calcular la serie de Taylor de $\ln(1+x)$

Primero he calculado las derivadas (hasta la 4ª) de ln(1+x)

$f^{'}(x)$ = $\frac{1}{1+x}$
$f^{''}(x) = \frac{-1}{(1+x)^2}$
$f^{'''}(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$
$f^{''''}(x) = \frac{-6}{(1+x)^4}$
Por lo tanto, la serie:
$\ln(1+x) = f(a) + \frac{1}{1+a}\frac{x-a}{1!} - \frac{1}{(1+a)^2}\frac{(x-a)^2}{2!} + \frac{2}{(1+a)^3}\frac{(x-a)^3}{3!} - \frac{6}{(1+a)^4}\frac{(x-a)^4}{4!} + ...$

Pero esto no parece ser correcto. ¿Puede alguien explicarme por qué no funciona?

Las supuestas respuestas correctas son: $$\ln(1+x) = \int \left(\frac{1}{1+x}\right)dx$$ $$\ln(1+x) = \sum_{k=0}^{\infty} \int (-x)^k dx$$

Answer 1

Tienes la expansión general sobre $x=a$ . Aquí se pretende tomar $a=0$ . Es decir, nos encontramos con la serie Maclaurin de $\ln(1+x)$ . Esto simplificará considerablemente la expresión. Observe también que $\frac{(n-1)!}{n!}=\frac{1}{n}$ .

El planteamiento de la solución propuesta también funciona. Observamos que $$\frac{1}{1+t}=1-t+t^2-t^3+\cdots\tag{1}$$ si $|t|\lt 1$ (serie geométrica infinita). Entonces observamos que $$\ln(1+x)=\int_0^x \frac{1}{1+t}\,dt.$$ A continuación, integramos la parte derecha de (1) término a término. Obtenemos $$\ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots,$$ precisamente lo mismo que lo que se obtiene poniendo $a=0$ en tu expresión.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$\frac{1}{1+x}=\sum_{n \ge 0} (-1)^nx^n$$ La integración de ambas partes le ofrece \begin{align} \ln(1+x) &=\sum_{n \ge 0}\frac{(-1)^nx^{n+1}}{n+1}\\ &=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-... \end{align} Alternativamente, \begin{align} &f^{(1)}(x)=(1+x)^{-1} &\implies \ f^{(1)}(0)=1\\ &f^{(2)}(x)=-(1+x)^{-2} &\implies f^{(2)}(0)=-1\\ &f^{(3)}(x)=2(1+x)^{-3} &\implies \ f^{(3)}(0)=2\\ &f^{(4)}(x)=-6(1+x)^{-4} &\implies \ f^{(4)}(0)=-6\\ \end{align} Deducimos que \begin{align} f^{(n)}(0)=(-1)^{n-1}(n-1)! \end{align} Por lo tanto, \begin{align} \ln(1+x) &=\sum_{n \ge 1}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\\ &=\sum_{n \ge 1}\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{n!}x^n\\ &=\sum_{n \ge 1}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n\\ &=\sum_{n \ge 0}\frac{(-1)^{n}}{n+1}x^{n+1}\\ &=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-... \end{align} Edita: Para derivar un cerrado para para la serie geométrica, sea \begin{align} S&=1-x+x^2-x^3+...\\ xS&=x-x^2+x^3-x^4...\\ S+xS&=1\\ S&=\frac{1}{1+x}\\ \end{align} Para probar en la otra dirección, utilice el teorema binomial o simplemente calcule la serie sobre $0$ manualmente.