Forma implícita de una superficie paramétrica

Question

Sea $\Sigma$ sea la superficie en $\mathbb{R}^3$ parametrizado por $$ (u,v) \mapsto \Big(\;p_X(u,v),\; p_Y(u,v),\; p_Z(u,v)\;\Big), $$ donde $p_X, p_Y, p_Z$ son polinomios. ¿Existe una forma estándar de obtener la descripción implícita de $\Sigma$ ? Quiero decir, para encontrar polinomios $f$ y $g$ en $X,Y,Z$ tal que $\Sigma$ es el lugar cero del ideal generado por $f$ y $g$ ?

Aunque no conozcas un algoritmo para hacerlo, ¿sabes si al menos siempre es posible (teóricamente) encontrar tales polinomios? $f,g$ ?

Answer 1

Si su entorno informático admite métodos de base de Gröbner, puede utilizarlos para recuperar la ecuación cartesiana implícita de su superficie definida paramétricamente.

Mathematica por ejemplo, tiene la función GroebnerBasis[] . A modo de ejemplo, se puede utilizar para derivar la ecuación cartesiana implícita de la recta Superficie mínima Enneper :

GroebnerBasis[{x, y, z} == {u - u^3/3 + u v^2, -v - u^2 v + v^3/3,
                            u^2 - v^2} // Thread,
              {x, y, z}, {u, v}] // FullSimplify
   {729 x^6 - (9 y^2 - 8 (-3 + z) z^2)^2 (9 y^2 + z (3 + z)^2) +
    27 x^2 (81 y^4 + 18 y^2 z (3 + 13 z^2) +
    16 z^3 (3 + z) (-3 + z (6 + z))) -
    243 x^4 (9 y^2 + z (3 - z (18 + 5 z)))}

Answer 2

He encontrado este artículo, donde demuestran que siempre existe una ecuación implícita para parametrizaciones de grado $\leq3$ . La técnica utiliza el llamado $\mu$ -base

http://staff.ustc.edu.cn/dengjs/files/papers/47%20mu23.pdf