¿Cuál de las siguientes operaciones binarias es cerrada?
- resta de enteros positivos
- división de enteros distintos de cero
- composición de funciones de polinomios con coeficientes reales
- multiplicación de $2\times 2$ matrices con entradas enteras
¿Cuál de las siguientes operaciones binarias es cerrada?
Empecemos por la primera. Supongamos que $a,b$ son enteros positivos. ¿Estamos seguros de que $a-b$ es siempre un número entero positivo? En realidad, no. Por ejemplo, si $a=2$ y $b=10$ ambos enteros positivos, entonces $a-b$ ya no es un número entero positivo. Por lo tanto, el conjunto de enteros positivos es no cerrado por sustracción.
Para continuar con la respuesta que dio vadim123:
La división de enteros distintos de cero no es cerrada. Así es como lo sabemos. Supongamos que a,b son enteros distintos de cero. ¿Está garantizado que a/b ¿es un número entero? Pues bien, para demostrar que la división de enteros distintos de cero no es cerrada, basta con enumerar un ejemplo que demuestre un entero a/b no estar en el conjunto de los números enteros. Un ejemplo sería cuando a = 5 y b = 7 . El valor 5/7 no está dentro del conjunto de enteros distintos de cero. Por lo tanto, no es posible que la división de enteros distintos de cero sea cerrada.
Multiplicación de 2x2 matrices con entradas enteras es cerrado. (Informalmente) Sabemos que es cerrada porque la multiplicación de matrices cuadradas siempre produce otra matriz cuadrada del mismo tamaño y porque las entradas enteras dentro de esas matrices son cerradas bajo adición y multiplicación.
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