Si $\phi \in W^*$ demostrar que podemos encontrar un $\widetilde{\phi} \in V^*$ tal que $\widetilde{\phi}\Bigr|_{W} = \phi$

Question

Sea W sea un subespacio del espacio vectorial $V$ . Si $\phi \in W^*$ demostrar que podemos encontrar un $\widetilde{\phi} \in V^*$ tal que $\widetilde{\phi}\Bigr|_{W} = \phi$

Esto es lo que sé:

Para $W$ sea un subespacio de $V$ es cerrado bajo adición y multiplicación escalar en $V$ .

$V^*$ es el espacio dual de $V$ es decir, el conjunto de todos los mapas lineales $\phi: V \rightarrow k$

$\phi \in W^*$ el mapa lineal $\phi: W \rightarrow k$ con $k$ siendo el campo que $V$ ha terminado

Y me dan una pista: Si $f: V \rightarrow k$ es un mapa lineal, entonces $f\Bigr|_{W}$ el mapa lineal $W \rightarrow k$ dada por la misma fórmula que $f$ (en otras palabras, basta con reducir el dominio de $f$ ).

Intuyo que esto tiene sentido, pero no sé cómo demostrarlo.

Answer 1

Asumiré $V $ es de dimensión finita. Sea $w_1,...w_m$ sea una base de $W$ se extienden a una base de $V$ añadiendo $u_1,...u_n $ y definir $U = span (u_1,...u_n) $ .

A partir de bases de $W $ y $U$ se obtienen bases duales $w_1^*,...,w_m^*$ y $u_1^*,...,u_n^*$ de $W^*$ y $U^*$ respectivamente. Nota $w_1^*,...,w_m^*,u_1^*,...,u_n^*$ es una base de $V^*$

Supongamos que $\phi = \lambda_1 w_1^* +...+ \lambda_m w_m^* $ y ampliar el funcional a $V^*$ definiendo $\widetilde{\phi} = \lambda_1 w_1^* +...+ \lambda_m w_m^* +0 u_1^* +...+0 u_n^*$ .