Desconexión total y dimensión cero en espacios polacos

Question

En primer lugar, los espacios polacos son espacios topológicos completamente metrizables y separables, y por dimensión cero Me refiero a que el espacio polaco tiene una base (contable) formada por conjuntos cerrados. Está claro que un espacio polaco de dimensión cero está totalmente desconectado, me preguntaba si también es cierta la inversa.

• Si tenemos un espacio polaco totalmente desconectado, ¿es también de dimensión cero (es decir, tiene una base contable de conjuntos cerrados)? Si no es así, ¿hay algún contraejemplo?

Creo que bastaría con demostrar que todo conjunto abierto del espacio incluye un conjunto cerrado (cerrado con respecto al espacio total). La desconexión total implica que todo conjunto abierto no vacío (no singleton) está desconectado, por lo que contiene un conjunto cerrado. respecto al conjunto abierto (es decir, su topología relativa), que no es, en general, cerrado con respecto al espacio global.

Como lo he leído en los apuntes de mi profesor, me inclino a pensar que la tesis es cierta, pero tengo algunos problemas para demostrarlo. ¿Alguna ayuda?

Gracias

Answer 1

Parece que hay espacios polacos totalmente desconectados que no son de dimensión cero.

Consideremos el espacio de Hilbert estándar $l^2$ de todas las secuencias reales sumables al cuadrado. Sea $X\subseteq l^2$ sea el conjunto de todas las sucesiones con coeficientes irracionales. $X$ es claramente separable. No es difícil demostrar que también es totalmente desconectable. También es completamente metrizable, ya que es un $G_\delta$ subconjunto de $l^2$ .

Ahora bien, el artículo "On homogeneous totally disconnected 1-dimensional spaces" (de Kazuhiro Kawamura, Lex G. Oversteegen y E. D. Tymchatyn) afirma que $X$ es de dimensión $1$ .