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Supongamos que $Y \sim Ber(X)$ donde $X = F(Z)$ y $Z \sim N(\mu, \sigma^2)$ . ¿Cuál es el valor esperado $E[Y-X]$ ?

Supongamos que $Y \sim Ber(X)$ donde $X = F(Z)$ y $Z \sim N(\mu, \sigma^2)$ . $F$ denota la fdc de una variable aleatoria continua. ¿Cuál es el valor esperado $E[Y-X]$ ?

\begin{align*} E[Y-X] &= E[Y]-E[X]\\ &= E[E[Y|X]] - E[X]\\ &= E[F(Z)] - E[F(Z)]\\ &= 0 \end{align*}

¿Es correcto lo anterior?

2voto

Aaron Puntos 36

Lo que ha hecho es correcto (suponiendo que $F$ es fija), pero puede simplificarse, generalizarse y hacerse más explícita. Empecemos por generalizar el modelo y escribirlo de forma más explícita:

$$\begin{align} Y|Z &\sim \text{Bern}(F(Z)), \\[6pt] Z &\sim \text{Dist}, \\[6pt] \end{align}$$

donde $\text{Dist}$ es una distribución arbitraria. Dado que $Y|Z \sim \text{Bern}(F(Z))$ tenemos la expectativa condicional:

$$\mathbb{E}(Y|Z) = 0 \cdot (1-F(Z)) + 1 \cdot F(Z) = F(Z).$$

Utilización de la ley de la expectativa total entonces tenemos:

$$\begin{align} \mathbb{E}(Y-F(Z)) &= \mathbb{E}(\mathbb{E}(Y-F(Z)|Z)) \\[6pt] &= \mathbb{E}( F(Z) - F(Z) ) \\[6pt] &= \mathbb{E}(0) \\[6pt] &= 0. \\[6pt] \end{align}$$

Obsérvese que este resultado no requiere ninguna suposición sobre la distribución de $Z$ .

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