Demuestre que el anillo de polinomios con coeficientes en un campo, y en infinitas variables, no es noetheriano

Question

Demuestre que el anillo de polinomios con coeficientes en a campo, y en infinitas variables, no es noetheriano, es decir, $R = k [x_i: i\geq1]$ no es noetheriano.

Sé que necesito exponer un ideal del anillo que no esté finitamente generado, ¿cuál podría ser este ideal? ¿Podría ser $(x_1,x_2,...,)$ ? O podría dar la siguiente cadena de ideales que no tienen un elemento maximal $(x_1)\subset(x_1,x_2)\subset(x_1,x_2,x_3)\subset...$ ¿Cómo se pueden clasificar todos los ideales no generados finitamente? ¿Qué hacer en el caso de que el número de variables no sea contable?

Answer 1

Un anillo es noetheriano si y sólo si cumple la condición de cadena ascendente, es decir, toda cadena creciente de ideales termina. Ahora se tiene una cadena $$(x_1)\subsetneq(x_1,x_2)\subsetneq(x_1,x_2,x_3)\subsetneq\cdots$$ que nunca termina, por lo que $k[x_i: i\ge 1]$ no es noetheriano.

Answer 2

Tienes todas las ideas correctas. No necesitas clasificar completamente los ideales no infinitamente generados para probar que $(x_1,x_2,\dots)$ no está finitamente generada. Una forma de hacerlo es razonar:

Supongamos que $I = (x_1,x_2,\dots)$ se generaron finitamente. Entonces habría una lista finita de generadores $f_1,\dots,f_n$ . Cada $f_i$ sería un polinomio en finitamente muchas variables (porque eso es lo que los elementos de este anillo son). Por tanto, habría algún $N$ que es el máximo $N$ para lo cual $x_N$ aparece en cualquiera de los $f_i$ 's. Entonces, supuestamente, cada elemento de $I$ sería expresable como una combinación lineal del $f_i$ con coeficientes en el anillo de polinomios. Pero ¿cómo expresar $x_k$ así cuando $k>N$ ?