$\prod_{i\in I}(1+x_i)=\sum_{J\subseteq I}\prod_{j\in J}x_j$

Question

He encontrado esta igualdad: $$\prod_{i\in I}(1+x_i)=\sum_{J\subseteq I}\prod_{j\in J}x_j$$ ¿Crees que es cierto?

Answer 1

Sí, es cierto. Puedes pensar en esto combinatoriamente. Por ejemplo, supongamos que tenemos $$(1+x)(1+y)$$

Primero elegimos no multiplicar nada juntos. Es decir, elegimos sólo los 1. Para obtener el primer término 1. Entonces elegimos multiplicar sólo un término. Aquí obtenemos $x$ y $y$ . Entonces elegimos multiplicar dos juntos para obtener $xy$ . Así pues, tenemos $1 + x + y + xy$ . Corresponden a los conjuntos $$\emptyset, \{x\}, \{y\}, \{x,y\}$$

Ahora vemos que esto funciona para el caso en que $|I| = 2$ . Para demostrar esto por inducción tenemos, supongamos que esto se cumple para $|I| = N$ . Ahora dejemos que $I' = I \cup \{x_{N+1}\}$ .

$$(1+x_{N+1})(1+x_N)\cdots(1+x_1) = (1+x_N)\cdots(1+x_1) + x_{N+1} (1+x_N)\cdots(1+x_1)$$

Entonces aplicando nuestra suposición:

$$=\sum_{J\subset I} \prod_{j\in J} x_j + x_{N+1} \sum_{J\subset I} \prod_{j\in J} x_j$$

$$=\sum_{J\subset I} \prod_{j\in J} x_j + \sum_{J\cup\{x_{N+1}\}\subset I} \prod_{j\in J\cup\{x_{N+1}\}} x_j$$

$$= \sum_{J\subset I'} \prod_{j\in J} x_j $$