Confusión en la notación integral - $x$ vs. $t$

Question

Una de nuestras hojas de trabajo contiene las siguientes integrales (áreas) para encontrar:

$$\int_0^x 1 \, dx$$

$$\int_0^x x \, dx$$

Soy escéptico. Aunque es nuestro primer día de clase aprendiendo sobre integrales, ya tengo la sensación de que quizá la variable en el límite de integración no debería ser la misma que aparece en la función que se está integrando.

Si alguien escribiera... $$\int_0^x 1 \, dt$$ ... Sé perfectamente que esto sería igual a $x$ -- Podría averiguarlo presumiblemente dibujando $y=f(t)=1$ en el $y,t$ plano de coordenadas y utilizando la geometría básica. Pero me parece que la integral que anoté al principio de mi post es diferente -- tal vez incluso sin sentido . ¿Estoy en lo cierto, es decir, mi profesor se equivocó al redactar las preguntas? Cualquier explicación es muy apreciada.

Answer 1

Técnicamente, el $dx$ en la primera integral "une" el nombre de la variable $x$ a la variable ficticia de la integral. Es decir, hace una definición local del símbolo $x$ . Esta definición sólo se aplica dentro del integrando de la integral, en ningún otro lugar - ciertamente no fuera de la integral, y ni siquiera a los valores límite de la integral.

Si programa, puede comparar $dx$ a la declaración de una variable local $x$ dentro de la definición de una función. Ningún código fuera de la función puede establecer el valor de $x,$ y el valor de $x$ dentro de la función no controla directamente el valor de ninguna otra variable llamada $x$ fuera de la definición de la función.

Desde $x$ es una variable ficticia, definida únicamente dentro del integrando por la notación $dx,$ podemos sustituir cualquier otro nombre de cualquier otra variable siempre que ese nombre no aparezca ya en el integrando. Así, por ejemplo, cuando veas $$\int_0^x x \, dx$$ que se te ocurra $$\int_0^x t \, dt.$$ Técnicamente, son lo mismo.

Digo "técnicamente", porque en términos más prácticos, escribir $\int_0^x x\,dx$ es mal estilo. Si sabes que es lo mismo que $\int_0^x t\,dt$ , ¿por qué no escribir el $dt$ y evitar la inevitable confusión que resulta de utilizar el mismo nombre de variable para dos cosas distintas en dos lugares distintos? A los seres humanos no se nos dan bien este tipo de distinciones. Y si no sabes $\int_0^x x\,dx$ es lo mismo que $\int_0^x t\,dt$ no tienes nada que hacer escribiéndolo.

En resumen, creo que tienes una queja legítima de que este tipo de notación no debería estar en tu hoja de cálculo. Mientras tanto resuelve $\int_0^x 1\,dx$ como $\int_0^x 1\,dt$ y resolver $\int_0^x x\,dx$ como $\int_0^x t\,dt$ .

Answer 2

Existe una distinción entre integrales definidas e indefinidas. Las integrales indefinidas son integrales que no tienen valores para los límites inferior y superior de integración. Alternativamente, en tu ejemplo la integral indefinida es una integral que tiene 0 como límite inferior y x como límite superior.

$$\begin{align} \int_0^x t dt = \int_0^x x dx = \int x dx = \frac{x^2}{2} \end{align}$$

tenga en cuenta que $t$ es una variable ficticia. Puede sustituirse por cualquier otra variable, incluyendo $x$ .

Estoy suponiendo que la constante de integración es 0

http://mathworld.wolfram.com/IndefiniteIntegral.html

En general $$\begin{align} \int_C^x t dt = \int_C^x x dx = \int x dx = \frac{x^2}{2} - D \end{align}$$ donde $$\begin{align} D = \frac{C^2}{2} \end{align}$$