Límite de una función que implica el infinito

Question

¿Cuál sería el límite de $\frac{1}{\alpha} \left(x+\frac{\alpha}{2}\right)$ como $\alpha$ se aproxima a 0, donde $-\frac{\alpha}{2} \leq x \leq \frac{\alpha}{2},\ $ y $\alpha > 0$ ?

He probado lo siguiente, pero creo que puede no ser correcto.

$$\lim\limits_{\alpha \to 0} \frac{x}{\alpha} +\frac{1}{2}$$

Llegar al límite

$$=\frac{x}{0} + \frac{1}{2} = (\infty + \frac{1}{2}) \to\infty$$

Answer 1

Si $x=0$ el límite es $1/2$ . Supongamos que $x>0$ Entonces $$ \lim_{x\to0^-}\frac{x}{\alpha}=-\infty, \qquad \lim_{x\to0^+}\frac{x}{\alpha}=\infty $$ Del mismo modo (con los signos intercambiados) si $x<0$ . Añadir $1/2$ no cambia los límites.