Sea $\mathsf{C}, \mathsf{D}$ ser categorías en las que todos los límites de forma $\mathsf{J}$ existe; que $G : \mathsf{C} \to \mathsf{D}$ sea un functor cualquiera. Me pregunto por qué el mapa canónico $$\tau_F : [G \lim F \to \lim (G \circ F)] \in \mathsf{D}$$ es natural en $F : \mathsf{J} \to \mathsf{C}$ . El mapa se define aplicando $G$ al cono, $$[\lim F \to F] \overset{G}{\leadsto} [G \lim F \to G \circ F],$$ y luego factorizar según la propiedad universal de $\lim(G \circ F)$ . Me parece bien. Para la naturalidad, intenté examinar el cuadrado que debería conmutar (morfismo de diagramas $\eta : F_1 \to F_2$ ): $$\begin{array}{ccc} G \lim F_1 &\overset{\tau_{F_1}}{\to} & \lim (G \circ F_1) \\ \scriptstyle{G\lim \eta}\textstyle\downarrow\phantom{\scriptstyle{G \lim \eta}} & & \phantom{\scriptstyle{\lim G\eta}} \downarrow \scriptstyle{\lim G\eta} \\ G \lim F_2 & \underset{\tau_{F_2}}{\to} & \lim(G\circ F_2) \end{array}$$
Pero no me queda claro por qué lo hace. Por ejemplo, $\tau_F$ se define de forma abstracta, así que no veo cómo calcular ambas direcciones y demostrar que son iguales. Por otro lado, $G \lim F_2$ no tiene la propiedad universal, por lo que $(\lim G\eta) \circ \tau_{F_1}$ no tiene en cuenta $G \lim F_2$ de tal manera. Por favor, hágamelo saber si he entendido mal o pasado algo por alto.
