Estimación mediante elipticidad

Question

Estoy tratando de estimar, en cualquier dirección, la siguiente integral:

$\int_{B} a^{i,j} X_j D_ig dx$ . Estamos integrando sobre una bola de unidad, $B$ y $[a^{i,j}]$ es positivo.

He intentado utilizar la elipticidad, pero no ha funcionado. Me preguntaba si alguien puede mostrarme: a. Cómo usar la elipticidad para estimar la integral, o b. Hay alguna otra desigualdad que pueda ser útil para estimar la integral. Gracias de antemano.

Answer 1

Estimar por encima es sólo una cuestión de Cauchy-Schwarz (si también se asume $a^{ij}$ es simétrica). Dado que $a^{ij}$ es positiva, se puede definir la matriz $[b] = [a]^{1/2}$ y reescribir

$$\int_B a^{ij}X_jD_ig dx = \int_B \sum_k b^{ik}b^{kj}X_jD_ig dx$$

aplicar Cauchy-Schwarz a los términos $V^k = b^{ik}D_ig$ y $W^k = b^{kj}X_j$ obtienes

$$\left\lvert\int_B a^{ij}X_jD_ig dx\right\rvert \leq \left(\int_B V^kV^k dx\right)^{1/2}\left(\int_B W^kW^k dx\right)^{1/2} = \left(\int_B a^{ij}X_jX_i dx\right)^{1/2} \left(\int_B a^{ij}D_ig D_jg dx\right)^{1/2}$$

En general: Cauchy-Schwarz se puede utilizar para cualquier forma bilineal simétrica semidefinida positiva.

Una dirección de la definición de elipticidad puede entonces permitir controlar el RHS por un factor constante veces

$$\left(\int_B |X|^2 dx\right)^{1/2} \left(\int_B |Dg|^2 dx\right)^{1/2}$$

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Otra cosa que puedes hacer, si conoces el comportamiento de $u$ en el límite de $B$ es integrar por partes:

$$\int_{B} a^{ij}X_j D_i g dx = \int_{\partial B} a^{ij}X_j n_i g d\sigma - \int_{B} g D_i( a^{ij}X_j ) dx$$

que puede ser útil si sabes algo sobre las derivadas del vector $a^{ij}X_j$ . $n_i$ en el primer término del lado derecho es sólo la normal unitaria hacia fuera en $\partial B$ .

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En general, no se puede hacer una estimación desde abajo. La elipticidad no excluye la posibilidad de que $X_j$ y $D_i g$ son ortogonales con respecto a la forma bilineal $a^{ij}$ .

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Si dice con más precisión qué tipo de estimaciones busca, o qué posibles propiedades adicionales sobre $X_j$ y $D_i g$ que tenga, quizá pueda darle respuestas más precisas.