Demuestre que para números positivos a,b,c,d, $\sum_{cyc} ab \leq \frac{1}{4}\left(\sum_{cyc} a \right)^2$ y ...

Question

Sean a,b,c,d cuatro números reales positivos. Demuéstrese que $$\sum_{cyc} ab \leq \frac{1}{4}\left(\sum_{cyc} a \right)^2$$ y $$\sum_{cyc} abc \leq \frac{1}{16}\left(\sum_{cyc} a \right)^3$$ Mi libro de texto decía que estas desigualdades se pueden derivar de la desigualdad AM-GM pero no decía cómo derivarla. Sólo puedo encontrar límites más laxos. Es decir, para cada término en el lado izquierdo de la primera desigualdad, por AM-GM desigualdad, $$ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \leq \frac{1}{4} \left(a+b+c+d\right)^2$$ $$\Longrightarrow \sum_{cyc} ab \leq \frac{4}{4} \left(\sum_{cyc} a \right)^2$$ Utilizando las mismas técnicas, obtenemos otro límite flexible para $\sum_{cyc} abc$ . ¿Cómo podría obtener los límites en las desigualdades originales? Por favor, sugiera.

PS. Parece que si estas desigualdades son ciertas, podemos obtener una relación general para n variables positivas como $\sum_{cyc} a_1 ... a_k \leq \frac{1}{n^{k-1}}\left(\sum_{cyc} a_i \right)^k$ .

PS2. Perdón por el doble post. Había un hilo antiguo aquí: Mostrar $\sum\limits_{cyc}ab\le\frac14\left(\sum\limits_{cyc}a\right)^2$ Una respuesta apunta a la desigualdad de Maclaurin, pero sigo sin poder averiguar cómo demostrarla utilizando AM-GM.

Answer 1

La primera desigualdad.

Por AM-GM $$\sum_{cyc}ab=(a+c)(b+d)\leq\left(\frac{a+b+c+d}{2}\right)^2=\frac{1}{4}(a+b+c+d)^2.$$ Usé ese $$\sum_{cyc}ab=ab+bc+cd+da=b(a+c)+d(a+c)=(a+c)(b+d).$$ La segunda desigualdad se deduce de Maclaurin.

Sea $a+b+c+d=4u$ , $ab+ac+bc+ad+bd+cd=6v^2,$ donde $v>0$ y $abc+abd+acd+bcd=4w^3$ .

Así, por Maclaurin $$u\geq v\geq w.$$

Sobre Maclaurin, véase aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Maclaurin%27s_inequality

Tu última desigualdad es errónea.

Pruebe $n=5$ y $k=2$ .

Pero para $n=5$ y $k=3$ es verdad.