Me cuesta un poco entender la idea que subyace a la definición de una EDP en una variedad fibrosa.
Sea $\pi: E \to M$ sea un haz de fibras suave y localmente trivial. En palabras de Gromov, una diferencial parcial relación de orden $k$ es un subconjunto del $k$ th jet bundle $J^k(E)$ . Normalmente se define una diferencial parcial ecuación de orden $k$ sea un submanifold cerrado del $k$ th jet bundle $J^k(E)$ . Esta última definición introduce algún tipo de condición de regularidad. No entiendo muy bien por qué se quiere/necesita esta regularidad.
¿Cuál es la ventaja de pedir a una PDE que sea un submanifold en lugar de ser simplemente un subconjunto de $J^k(E)$ ?
Me explico un poco más: (En primer lugar, tenga en cuenta que esto es de alguna manera una continuación de mi pregunta anterior: ¿Por qué una ecuación diferencial es un submanifold de un haz de chorros? )
A menudo, una relación diferencial parcial proviene de un operador diferencial. Sea $\rho: H \to M$ sea otra variedad fibrosa. Un operador diferencial de orden $k$ es un mapa $D_f: \Gamma_{loc}(\pi) \to \Gamma_{loc}(\rho)$ entre secciones locales, para las que existe un morfismo de haz $f: J^k(E) \to H$ tal que para cada sección local $\phi \in \Gamma_{loc}(\pi)$ la igualdad $D_f (\phi) (p) = f(j^k_p \phi)$ es válido para $p$ en el ámbito de $\phi$ . Ahora la preimagen de una sección dada $\eta$ de $\rho$ en $f$ es claramente una relación diferencial parcial, pero para que sea una ecuación diferencial parcial tenemos que preguntarnos $df$ para tener un rango constante.
Este párrafo anterior se opone un poco a mi interpretación naiv de una PDE en $R^n$ ser un arbitraria ecuación en la variable independiente, la propia función y sus derivadas parciales. Sólo en el sentido de la wikipedia: Una ecuación diferencial parcial se parece a $F(x_1, \dots, x_n, u(x), \frac{\partial u}{\partial x_1}, \dots ) = 0$ para una función arbitraria $F$ (con imagen, por ejemplo, en $R$ ). Ahora bien, si buscamos funciones $u: R^n \to R^m$ podemos establecer $E = R^n \times R^m$ con $\pi$ siendo la proyección sobre el primer factor y $H = R^n \times R$ . $F$ es un mapa de haz, que implícitamente también define un operador diferencial $D_F$ . Así que en el sentido estricto de ser un submanifold, $F$ define sólo una ecuación diferencial parcial, si tiene rango constante, de lo contrario es "simplemente" una relación diferencial parcial.
Edición: Ejemplo : ¿Por qué existe $\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial y} = 0$ no ¿un pde (en sentido estricto)?
En este caso $(E, M, \pi) = (R^2 \times R, R^2, pr_2)$ con coordenadas $(x_1, x_2, y)$ . El primer haz de chorros $J^1(E)$ tiene coordenadas $(x_1, x_2, y, p_1, p_2)$ . La relación diferencial parcial $S = \lbrace (x_1, x_2, y, p_1, p_2) \, | \, p_1 p_2 = 0 \rbrace$ describe la ecuación con la que empecé y claramente no es una submanifold lisa.
¿A qué se debe este desfase entre el punto de vista ingenuo del análisis real y el punto de vista algo más elaborado de la geometría diferencial?
Por último, tengo curiosidad por saber si hay alguna forma de ver que una relación específica es en realidad una ecuación diferencial parcial. Por ejemplo la igualdad $\Phi^* g = g$ especificando los difeomorfismos locales que son isometrías con respecto a una métrica pseudo-riemanniana $g$ a menudo se dice que es una ecuación diferencial parcial, sin dar un argumento. Y en algunas partes estoy de acuerdo: esto realmente siente como una ecuación diferencial parcial. Pero para demostrar que define de hecho una submanifold necesita algunos trabajos, como se puede ver en mi pregunta anterior ¿Por qué $\phi^* g = g$ una EDP para una métrica pseudo-riemanniana $g$ en un colector? que obtuvo una respuesta muy agradable. Otros ejemplos que a menudo se dice que están definidos por ecuaciones diferenciales parciales son los mapas afines definidos localmente con respecto a una conexión arbitraria $\nabla$ en $TM$ o difeomorfismos definidos localmente que preservan un campo tensorial dado $T$ o incluso aquellos difeomorfismos afines que en adición preservan un campo tensorial dado. Tal vez sería útil ver un argumento en coordenadas en uno de estos casos, para ver cómo estas afirmaciones intuitivamente obvias pueden hacerse rigurosas.
Editar : Para empezar con el "argumento coorinador" que pedía en el último párrafo, ponga $E=M \times M$ y $\pi$ la proyección al primer factor y podemos restringirnos al submanifold abierto de $J^1(E)$ que consiste en 1-jets de difeomorfismos locales. Obsérvese que para $(x,U)$ un gráfico sobre $p$ y $(y, V)$ un gráfico sobre $f(p)$ un gráfico sobre $j^1_p f$ viene dado por $\phi_{xy}: j^1_q g \to (x(q), y(g(q)), d(y \circ g \circ x^{-1})_{x(q)}) \in x(U) \times y(V) \times GL(\Bbb R^n)$ . Obsérvese que para $\phi_{xy}(j^1_q g) = (\xi, \eta, A)$ y $\Phi (\mu) := A(\mu) + \eta - A(\xi)$ la función $y^{-1} \circ \Phi \circ x$ (restringido a un subconjunto adecuado) es un representante de la clase de equivalencia $j^1_q g$ .
Ahora podemos retirar la conexión $\nabla$ y/o el campo tensorial $T$ para dar conexiones/campos tensores $\nabla^x, \nabla^y, T^x, T^y$ en $x(U)$ , $y(v)$ vía $x^{-1}, y^{-1}$ respectivamente. La propiedad de preservar el campo de conexión/tensor se explica en coordenadas como \begin{align*} F(\xi, \eta, A) &= (\Phi^* T^y)_{\xi} - T^x_{\xi} = 0 \\ G(\xi, \eta, A) &= (\Phi^* \nabla^y)_{\xi} - \nabla^x_{\xi} = 0 \end{align*}
(El primer término de $F$ resp. $G$ depende únicamente de $\eta$ y $A$ mientras que el segundo término sólo depende de $\xi$ .) Esto puede traducirse en ecuaciones para los componentes de $T^x$ y $T^y$ resp. los símbolos Christoffel de $\nabla^x, \nabla^y$ con respecto al marco de coordenadas estándar de $\Bbb R^n$ .
Hasta aquí todo bien. Pero ahora necesito probar, que el rango de los diferenciales de $F, G, (F,G)$ respectivamente es constante para las soluciones y además no depende de la elección del gráfico, ni del dominio/imagen de la solución local $g$ . ¿Alguna pista de cómo hacerlo en cualquiera de estos casos?
Edita 2: Como señala Hubert Goldschmidt en su artículo de 1967 Criterios de integrabilidad para sistemas de ecuaciones diferenciales parciales no lineales basta con que el morfismo de haz que define un operador diferencial tenga un rango localmente constante. Es decir, en la discusión anterior, basta con demostrar que $F$ etc. tienen un rango constante para todos los pares de gráficos $((x,U),(y,V))$ .
En segundo lugar, señala que hay EDP (necesariamente no lineales) que no pueden escribirse de esta manera. Pero dudo que los ejemplos anteriores sean de este tipo.
