Pruebas $\sum_{i=1}^{n} i^2$ por inducción matemática

Question

Demostrar por inducción matemática que $$\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ tiene $\forall n\in\mathbb{N}$ .

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(1) Supongamos que $n=1$ . Entonces el lado izquierdo es $1^2 =1$ y el lado derecho es $6/6 = 1$ por lo que ambos lados son iguales y la expresión se cumple para $n = 1$ .

(2) Sea $k \in \mathbb{N}$ se da. Supongamos que para $n = k$ la expresión se mantiene. Entonces para $n = k+1$ obtenemos $$\sum_{i = 1}^{k+1} i^2 = \left(\sum_{i = 1}^{k} i^2\right) + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + k^2 + 2k + 1 = \frac{2k^3 + 9k^2 + 13k + 6}{6}.$$ Factorizando el resultado obtenemos que $\frac{2k^3 + 9k^2 + 13k + 6}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$ y, por tanto, la expresión es válida para $n = k+1$ .

Combinando (1) y (2) podemos concluir que se cumple la expresión $\forall n \in \mathbb{N}$ .

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Tengo algunas preguntas:

1. ¿Es correcta mi prueba?
2. Si fueras profesor de matemáticas, ¿este estilo de escribir pruebas matemáticas es correcto y suficiente para un estudiante de primer año? ¿O hay algo que se me escapa?

Answer 1

Tenemos que demostrar que $$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}$$ esto es cierto ya que $$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2$$ es el mismo que el lado derecho después de un poco de álgebra

Answer 2

Creo que mi respuesta está implícita en la anterior, pero te digo que como el factor $(k+1)$ debe estar en su fórmula final (yo digo que el factor $(n+1)$ en la fórmula principal), lo sabes ya que tu prueba es por inducción, y dicho factor estaba en cada sumando $\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ y $(k+1)^2$ entonces creo que es mejor estrategia calcular esta suma como $$(k+1)\cdot\text{something}$$ y obtenga su resultado factorizando $\text{something}$ ya que es un polinomio en $k$ de grado $2$ . Observe que su factorización requiere resolver un polinomio de grado tres. Así su prueba es correcta , y puedes pensar en este detalle si crees que puede ser útil la próxima vez (lo que digo es que dicho factor es una guía para obtener la declaración final).