La respuesta de Kobe es mucho más eficiente, pero si quieres usar MCT y DCT, creo que esto funciona.
Supongo que puede mostrar el resultado si $$\int \lim_{k\to\infty}\left|\sum_{n=1}^k f_n\right|^p = \lim_{k\to\infty}\int \left|\sum_{n=1}^k f_n \right|^p .$$ Así que necesitamos justificar el cambio de orden de los límites, lo que equivale a demostrar que la secuencia de funciones $|h_k|^p = |\sum_{n=1}^kf_n|^p \leq g^p$ para algunos $g^p \in L^1$ y todos $k \in \mathbb N$ .
En primer lugar, observe que si $\sum_{n=1}^\infty \Vert f_n \Vert_p = \infty$ entonces el resultado es trivial. Por lo tanto, se puede suponer que $\sum_{n=1}^\infty \Vert f_n \Vert_p = B < \infty$ para algún número real $B \geq 0$ . Defina $g_k = \sum_{n=1}^k |f_n|$ y $g = \sum_{n=1}^\infty |f_n|$ y observe que $\Vert g_k \Vert_p \leq \sum_{n=1}^\infty \Vert f_n\Vert_p = B < \infty$ por la desigualdad de Minkowski. Por el teorema de convergencia monótona, ya que $g_k^p $ es una sucesión creciente de funciones no negativas que cubre a a $g^p$ ( $g_k$ aumenta a $g$ ), tenemos $$\int g^p = \lim_{k\to\infty} \int g_k^p = \lim_{k\to\infty} \Vert g_k\Vert_p^p \leq B^p < \infty$$ para que $g^p \in L^1$ . Además, se deduce que $g(x) = \sum_{n=1}^\infty |f_n(x)| < \infty$ para casi todos los $x$ . Así, para casi todos los $x$ sabemos que $g(x)$ converge absolutamente, y por tanto converge para casi todo $x$ (ya que las series absolutamente convergentes de números reales convergen). Es decir, $h(x) = \sum_{n=1}^\infty f_n(x) < \infty$ para casi todos los $x$ . Por último, si dejamos que $h_k = \sum_{n=1}^k f_n$ entonces tenemos $|h_k|^p \leq g^p$ donde $g^p \in L^1$ .
