Mapa lineal entre $M^*\otimes_RN\rightarrow \text{Hom}_R(M,N)$

Question

Estoy leyendo una nota de clase sobre tensores, lo siguiente es una proposición:

Para $R$ -módulo $M$ y $N$ , $M^*\otimes_RN\rightarrow \text{Hom}_R(M,N)$ s tensor $\varphi\otimes n$ en $M^*\otimes_RN$ t $M\rightarrow N$ definido por $m\mapsto \varphi(m)n$ .

Creo que es obvio y argumentar de esta manera:

Tenemos un mapa bilineal de $M^*\times N$ a $\text{Hom}_R(M,N)$ definido por $(\varphi,n)\mapsto \varphi(\cdot)n$ . Entonces, por la propiedad universal de los tensores, obtenemos un mapa lineal de $M^*\otimes_RN$ a $\text{Hom}_R(M,N)$ .

Sin embargo, el autor de la nota no prueba así y argumenta parece más complicado:

La función $M^*\times M\times N\rightarrow N$ g $(\varphi,m,n)\mapsto \varphi(m)n$ i t $B:(M^*\otimes_RN)\times M\rightarrow N$ donde $B(\varphi\otimes m,n)=\varphi(m)n$ . Para fijos $t\in M^*\otimes_RN$ , $B(t,\cdot)$ i $\text{Hom}_R(M,N)$ por lo que tenemos un mapa lineal $f:M^*\times N\rightarrow\text{Hom}_R(M,N)$ definido por $t\mapsto B(t,\cdot)$ .

Me pregunto por qué el autor argumentó así. ¿Hay algún problema en mi sencilla prueba?

Answer 1

Esencialmente está haciendo lo mismo de una manera más complicada sin razón aparente. Su prueba está bien. Los detalles de su "por qué" probablemente se encuentran en la estructura del propio documento. Tal vez es sólo una mala prueba, o tal vez él no estaba bien escribir $\varphi( \cdot )n$ o algo así, pero sin el libro no puedo decirlo.

Espero que le sirva de ayuda,