Conexión entre la igualdad a.s. de las expectativas condicionales y la igualdad a.s. de las probabilidades condicionales

Question

Sea $P$ sea una distribución y que $(X,Y,Z), (X',Y',Z')$ sean dos extracciones aleatorias de $P$ . Me gustaría entender la conexión entre las dos condiciones siguientes

(1) $\mathbb{E}[Y|X,Z] = \mathbb{E}[Y|Z]$ casi seguro

(2) $\mathbb{P}_P(Y<Y'|X,Z,X',Z') = \mathbb{P}_P(Y<Y'|Z,Z')$ casi seguro

¿Implica una cosa a la otra, o hay algún caso en que una se cumple y la otra no? Sé que ambas deben cumplirse si $Y \perp X|Z$ pero me gustaría poder caracterizar la conexión entre ambos. Esto está relacionado con mi pregunta sin respuesta aquí

Answer 1

La igualdad de expectativas parece una restricción muy débil. Ciertamente (1) no implica (2), según este ejemplo:

• $Z$ es independiente de todo lo demás, así que lo dejaré de considerar

• Primero lanza esta moneda al aire: $P(X = 1) = P(X = 2) = 1/2$

• Entonces $Y$ depende de $X$ de esta manera:

  • Si $X=1$ entonces $P(Y = 1) = 2/3, P(Y = -2) = 1/3, E[Y|X=1] = 0$ .

  • Si $X=2$ entonces $P(Y = -1) = 2/3, P(Y = 2) = 1/3, E[Y|X=2] = 0$ .

Claramente $E[Y|X] = E[Y] = 0$ seguramente, por lo que (1) es cierta. Sin embargo, (2) es falsa:

• $P(Y<Y' \mid X=1, X'=2) = P(Y=-2 \cup (Y = 1, Y' = 2) \mid X=1,X'=2) = 1/3 + 2/9 = 5/9$

• $P(Y<Y' \mid X=1, X'=1) = P(Y=-2, Y'=1 \mid X=1, X'=1) = 2/9$

ACTUALIZACIÓN: (2) tampoco implica (1), según este otro ejemplo:

• Otra vez, $Z$ es independiente de todo lo demás.

• Primer sorteo $X \sim Uniform(0,1)$

• Entonces $Y$ depende de $X$ de esta manera: $P(Y = 2X) = P(Y = -X) = 1/2$ Así que $E[Y\mid X] = X/2$ y (1) es falsa.

Sin embargo, (2) es cierto (casi seguro) porque

$$\forall x \neq x': P(Y < Y' \mid X=x, X'=x') = 1/2 = P(Y < Y')$$