Quiero demostrar que $\|uv^T\|_2 = \|uv^T\|_F = \|u\|_2\|v\|_2$ donde $u$ y $v$ son $u\in\mathbb{R}^m$ , $v\in\mathbb{R}^n$ . La igualdad del lado derecho puede verificarse fácilmente aplicando la definición de $\|\cdot\|_F$ . El problema es que no estoy seguro de cómo probar la igualdad LHS probando $\|uv^T\|_2= \|u\|_2\|v\|_2$ .
El límite superior se obtiene claramente de la siguiente manera:
$\|uv^T\|_2^2 \le \max_{\|x\|_2=1}\|uv^Tx\|_2^2 = \sum\limits_{i=1}^m \sum\limits_{j=1}^n(u_iv_jx_j)^2 \leq \max_{\|x\|_2=1}\sum\limits_{i=1}^mu_i^2 \sum\limits_{j=1}^nv_j^2x_j^2$ .
Desde $\|x\|_2 = 1$ tenemos $\max_{\|x\|_2=1}\sum\limits_{i=1}^mu_i^2 \sum\limits_{j=1}^nv_j^2x_j^2 \le \sum\limits_{i=1}^mu_i^2 \sum\limits_{j=1}^nv_j^2 = \|u\|_2^2\|v\|_2^2.$
Sólo queda demostrar que podemos construir tal $x\in\mathbb{R}^n$ donde $\|x\|_2 = 1$ para que esto sea una igualdad, pero no me resulta tan fácil.
