Curvatura positiva en haces vectoriales holomorfos

Question

Debe haber un error en mi comprensión de la definición de positividad para la curvatura. Permítanme resumir: Sea $ (L,\nabla,h) \rightarrow M $ sea un haz lineal hol hermitiano con conexión de Chern. Entonces se puede demostrar (por ejemplo, Huybrechts, geometría compleja Prop. 4.3.8) que la curvatura $F = \nabla^2 \in \mathcal{A}^{1,1}(M,\mathbb{C})$ es una (1,1)-Forma con la propiedad de que

(i) $h(F_{X,Y}\sigma,\tau)=-h(\sigma,F_{X,Y}\tau) $ .

Ahora, escribir $F$ en coordenadas locales $(z_i)$ de $M$ vemos $F=\sum_{i,j}F_{Z_i,\bar Z_j}dz_i \wedge d\bar z_j$ donde

$ a_{ij}:=F_{Z_i,\bar Z_j}$

es una matriz simétrica hermitiana. Ahora mi pregunta es:

De la primera igualdad (i) deducimos que $ F_{X,Y} $ es un número complejo puramente imaginario. ¿Por qué no es esto una contradicción con $ a_{ij} $ siendo simétrico hermitiano? Las entradas de la matriz de $ a_{ij} $ son especiales $ F_{X,Y} $ por lo que obtenemos una matriz con entradas puramente imaginarias que no puede ser definida positiva.

¡¿Dónde está mi error?!

Answer 1

En la expresión $F_{X,Y}$ , $X$ y $Y$ son vectores que viven en el espacio tangente real $TM \subset TM \otimes \mathbb C$ . Pero por supuesto $Z_i$ y $\bar Z_i$ no se encuentran en el espacio tangente real.

Por ejemplo, consideremos la dos-forma $\omega = idx \wedge dy$ . A continuación, utilizando $dx = \frac{1}{2}(dz + d\bar z), dy = \frac{1}{2i}(dz - d\bar z)$ ves que $\omega = \frac{1}{2} d\bar z \wedge dz$ . Por tanto, si se escribe en términos de formas diferenciales reales se obtiene un coeficiente puramente imaginario, pero si se escribe en términos de coordenadas complejas se obtiene un coeficiente real.